¿Probabilidad de que las variables aleatorias iid sean iguales?

Question

Supongamos que $X_1$ y $X_2$ son variables aleatorias iid. Quiero determinar $P(X_1=X_2)$ .

Si son variables aleatorias de valor entero, entonces $$P(X_1=X_2) = \sum_{i \in \mathbb{Z}} P_{X_1,X_2}(i,i) = \sum_{i \in \mathbb{Z}} P_{X_1}(i)^2. $$

Si son variables aleatorias continuas, entonces $$P(X_1=X_2) = \int_{x \in \mathbb{R}} f_{X_1,X_2}(x,x) dx = \int_{x \in \mathbb{R}} f_{X_1}(x)^2 dx. $$ Pero cuando $X_1$ y $X_2$ se distribuyen uniformemente sobre $[0,1)$ , $$P(X_1=X_2) = \int_{x \in \mathbb{R}} f_{X_1}(x)^2 dx = \int_{x \in [0,1)} 1 dx = 1. $$ Intuitivamente no es posible, ya que $P(X_1\neq X_2) > 0$ . Entonces, ¿hay algún error que haya cometido? Gracias.

Answer 1

No, tu cálculo para el caso continuo es erróneo. Debería ser $ P(X_1 = X_2) = \displaystyle\iint_D f_{X_1}(x) f_{X_2}(y)\ dx \ dy$ , donde $D = \{(x,y) \in {\mathbb R}^2: x = y\}$ . Pero $D$ tiene una medida bidimensional (es decir, un área) $0$ , por lo que la respuesta es $0$ .