Estoy usando un libro de pre-cálculo de auto-estudio y tengo que invertir la función $y = x^5 + 2x + 1$ . Sé que tengo que intercambiar las variables y poner todo en un lado de la ecuación como $y^5 + 2y -x + 1 = 0$ pero desde aquí no sé qué hacer. Todos los ejemplos que encuentro en internet o bien utilizan cálculo que no conozco o bien muestran ejemplos con el grado de $2$ en lugar de $5$ y por eso utilizan la ecuación cuadrática para resolver $y$ . Así que estoy atascado.
Respuestas
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O bien leíste mal el libro, o no entendiste el panorama general o te está jugando una broma cruel porque no hay una forma cerrada inversa de esta función en términos de funciones elementales. La forma que existe y que se puede encontrar usando un CAS (en términos de la función hipergeométrica generalizada) ciertamente no podría ser encontrada por un estudiante de ese nivel.
Victor Palea
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Estoy pensando que se podría resolver esto haciendo uso de la interpretación geométrica de la inversa de una función, es decir, que su gráfica es simétrica respecto a una recta en $45^{\circ}$ .
En principio, creo que se podría calcular esta función simétrica girando cada punto de manera que caiga en la posición correspondiente. Tomemos como ejemplo la siguiente imagen. Dada la gráfica de la $y=x^5+2x+1$ se puede tomar un punto al azar y observar que se puede girar en el sentido de las agujas del reloj por $2\alpha$ para llegar al punto correspondiente a la gráfica inversa. Esto podría hacerse, al menos creo que podría, a un nivel de pre-cálculo, pero tienes que derivar la fórmula para la rotación y luego generalizarla para todos los puntos, excepto aquel en el que la gráfica interseca la línea en $45^{\circ}$ .
Una forma de hacerlo, pero no a nivel de precálculo, es utilizando la matriz de rotación
$$R(-2\alpha) = \left(\matrix{\cos(2\alpha) & \sin(2\alpha) \\ -\sin(2\alpha) & \cos(2\alpha)}\right)$$ que puede aplicarse de la siguiente manera
$$\left(\matrix{\cos(2\alpha) & \sin(2\alpha) \\ -\sin(2\alpha) & \cos(2\alpha)}\right) \cdot \left(\matrix{x \\ x^5+2x+1}\right)=\left(\matrix{x' \\ y'}\right)$$ con $\alpha = \pi/4-\arctan \left(\frac{x}{x^5+2x+1}\right)$ .
Si no cometí algunos errores en mi razonamiento, esto debería darte al menos las coordenadas para la inversa y entonces podrías en principio considerar el trabajo hecho.
Sin embargo, repito, no estoy seguro de que haya que derivar la fórmula de la rotación, y más aún utilizarla como he hecho arriba utilizando un enfoque vectorial-matriz. Aún así, se podría argumentar que es sólo geometría y algo de trigonometría así que ... ¿precálculo?
