He leído algunas pruebas de la transformada de Fourier de la función de Heaviside en este sitio, pero no entiendo muy bien (porque todavía no he aprendido sobre la distribución). Estoy tratando de derivarlo yo mismo basado en lo que he aprendido hasta ahora.
Utilizo las siguientes definiciones de la función delta de Heaviside y de Dirac:
$$H(t)= \lim_{a\to 0^{+}} H_a(t) \text {, where } H_a(t) = \begin{cases} e^{-at}, & t \geq 0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$ $$\delta(v)= \lim_{a\to 0^{+}} \delta_a(v) \text {, where } \delta_a(v)= \begin{cases} \frac {1}{a}, & |v| \leq \frac{a}{2} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$ Ahora, tenemos: $$\mathcal {F}\{H(t)\}=\lim_{a\to 0^{+}}\mathcal {F}\{H_a(t)\}=\lim_{a\to 0^{+}} \int_{0}^{\infty} e^{-at}e^{-2i \pi vt}dt = \lim_{a\to 0^{+}} \frac {1}{a+2i \pi v}$$ $$=\lim_{a\to 0^{+}} \frac {a-2i \pi v}{a^2+4 \pi^2 v^2} =\lim_{a\to 0^{+}} \frac {a}{a^2+4 \pi^2 v^2}+\lim_{a\to 0^{+}} \frac {-2i \pi v}{a^2+4 \pi^2 v^2}$$
El segundo término corresponde a $\frac {1}{2i \pi v}$ . Pero, ¿por qué el primer término corresponde a $\frac {1}{2} \delta(v)$ ?
