Expresión de forma cerrada para $\underset{(X,Y) \in \mathcal E}{\arg \min} \left(||X-A||_2^2 + ||Y-B||_2^2 \right)$ ?

Question

Dejemos que $\mathcal H$ sea un espacio de Hilbert, y $S \subset \mathcal H$ un subconjunto convexo de $\mathcal H$ .

Dejemos que $\mathcal E = \{(X,Y) \in \mathcal H^2 ; X+Y \in S\}$ y $(A,B) \in \mathcal H^2$ .

¿Es posible encontrar alguna expresión de forma cerrada de :

$(\hat X, \hat Y) = \underset{(X,Y) \in \mathcal E}{\arg \min} \left(||X-A||_2^2 + ||Y-B||_2^2 \right)$

Answer 1

Este es un criterio:

$s^*\in S$ es un minimizador de: $$\|s-(A+B)\|^2\tag{$ * $}$$ si $$X^*=\frac12 (A-B+s^*),\qquad Y^*=\frac12(B-A+s^*)$$ son minimizadores de $\|X-A\|^2 + \|Y-B\|^2$ para $(X,Y)\in \mathcal E$ .

Para demostrarlo hay que tener en cuenta que si $(X,Y)\in \mathcal E$ entonces $Y=s-X$ para algunos $s\in S$ . Entonces: $$\|X-A\|^2+\|Y-B\|^2 = 2\|X\|^2+\|A\|^2+\|B\|^2+\|s\|^2-2\langle X,A-B+s\rangle-2\langle s,B\rangle $$ Si eliminamos las constantes encontramos que esto es lo mismo que minimizar $$2\|X\|^2-2\langle X, A-B+s\rangle+\|s\|^2-2\langle s,B\rangle$$ donde $X\in H$ y $s\in S$ . Primero minimizamos esto para $X$ para cualquier $s$ y $\|X\|$ fijo este término es el más pequeño $X=\lambda(A-B+s)$ para algunos $\lambda 0$ . Encontrar el $\|X\|$ para el que se minimiza entonces lleva a la pregunta de cuándo: $$2\|X\|^2(\lambda^2-\lambda)$$ es mínimo, lo que ocurre para $\lambda =\frac12$ y luego el mínimo $X,Y$ son siempre de la forma $$X=\frac12 (A-B+s),\qquad Y=\frac12 (B-A+s)$$ donde $s\in S$ . Lo que queda es encontrar el $s$ para que: $$-\frac12\|A-B+s\|^2+\|s\|^2-2\langle B,s\rangle = \frac12 \|s\|^2 -\langle s, A+B\rangle-\frac12\|A-B\|^2$$ se convierte en mínimo. Pero este problema de optimización es el mismo que $(*)$ .