El otro día estaba haciendo unos deberes de álgebra lineal y se me ocurrió una pregunta que nunca me había planteado: ¿cómo podría proyectar sobre un no -¿base ortogonal? Considera: $\newcommand\colv[1]{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}}$ $$\vec{u}=\colv{1\\0\\-1\\0}, \vec{v}=\colv{1\\2\\3\\4}, \vec{w}=\colv{0\\1\\3\\-4}, \vec{b}=\colv{1\\1\\1\\1}$$ $$A=\text{Span}(\vec{u},\vec{v},\vec{w})\text{ and we want to find proj}_A\vec{b} $$
Obviamente, la fórmula de proyección ortogonal no funcionará porque la base no es ortogonal. Además, podríamos hacer fácilmente algo como Gram-Schmidt para hacer $\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ ortogonal, pero sólo voy a explorar aquí. Aquí está mi intento:
Encuentre el $\hat{b}\in A$ que minimiza $\lVert\vec b - \hat b \rVert$ es decir, el vector en $A$ que está más cerca de $\vec b$ . Porque $\hat{b}\in A$ podemos reescribirlo como una combinación lineal: $$\hat{b}=c_u\vec u+c_v\vec v+c_w\vec w=\colv{c_u+c_v\\2c_v+c_w\\-c_u+3c_v+3c_w\\4c_v-4c_w}$$ $$\lVert\vec b - \hat b \rVert=\left| \left| \colv{1-c_u-c_v\\1-2c_v-c_w\\1+c_u-3c_v-3c_w\\1-4c_v+4c_w} \right| \right|=\sqrt{(1+c_u^2+c_v^2-2c_u-2c_v+2c_uc_v)+(1+4c_v^2+c_w^2-4c_v-2c_w+4c_vc_w)+(1+c_u^2+9c_v^2+9c_w^2+2c_u-6c_v-6c_w-6c_uc_v-6c_uc_w-18c_vc_w)+(1+16c_v^2+16c_w^2-8c_v+8c_w-32c_vc_w)}=\sqrt{4+2c_u^2+30c_v^2+26c_w^2-20c_v-4c_uc_v-46c_vc_w-6c_uc_w}$$
Porque el interior de la raíz cuadrada es el producto punto de $\vec b - \hat b$ con ella misma, estoy bastante seguro de que se puede asumir que ese polinomio nunca será negativo, y en combinación con el hecho de que la raíz cuadrada es una función monótona creciente, estoy bastante seguro de que podemos sacar la raíz cuadrada de la imagen (el mínimo de $\lVert\vec b - \hat b \rVert$ será el mismo que el mínimo de $\lVert\vec b - \hat b \rVert^2$ ). Lo mismo ocurre con la constante 4, pero eso ciertamente no ayuda mucho.
Genial, pero cualquier cosa que me hayan enseñado en MVC que pueda ayudarme a resolver esta cuestión, ciertamente se quedó dormida hace tiempo. Así que,
¿Cómo puedo minimizar este polinomio? $$2c_u^2+30c_v^2+26c_w^2-20c_v-4c_uc_v-46c_vc_w-6c_uc_w$$
Voy a jugar con la otra definición de la proyección. Podemos descomponer $\vec b$ en dos vectores $\hat b \in A$ y $a^{\perp} \in A^{\perp}$ , $\vec b=\hat b + a^{\perp}$
Bueno, sabemos que $\hat b$ puede escribirse como una combinación lineal de bases de $A$ y que $a^{\perp}$ será ortogonal a cada vector base de $A$ (sólo por razones de generalidad, cambie el nombre de los vectores base de $A$ para ser $\vec{v_i}$ del anterior $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ ). Esto nos da $$\langle a^{\perp}, \vec{v_j} \rangle = 0 \text{ for all j}$$ $$\langle \vec b - \sum_ic_i\vec{v_i}, \vec{v_j} \rangle = 0$$ $$\langle \sum_ic_i\vec{v_i},\vec{v_j} \rangle = \langle \vec b, \vec{v_j} \rangle$$ Si no me equivoco, esto se puede representar como una ecuación matricial $P\vec c=\vec d$ .
Dejemos que $P_{ij}=\langle \vec{v_i},\vec{v_j} \rangle$ , $\vec c_i = c_i$ , $\vec d_i=\langle \vec b,\vec{v_i} \rangle$
¿Es correcta esta representación?
Si es así, ¿en qué condiciones será coherente?
Por si acaso, lo probaré en mi ejemplo. $$\left[\begin{array}{rrr|r} \langle u,u\rangle & \langle u,v\rangle & \langle u,w\rangle & \langle b,u\rangle \\ \langle v,u\rangle & \langle v,v\rangle & \langle v,w\rangle & \langle b,v\rangle \\ \langle w,u\rangle & \langle w,v\rangle & \langle w,w\rangle & \langle b,w\rangle \end{array}\right]$$ Sólo con escribirlo se parece espeluznantemente a la fórmula de proyección ortogonal (cuando la base es ortogonal, supongo que los valores serían 0 fuera de la diagonal principal), así que tengo muchas esperanzas de que sea correcto, pero no tengo ni idea de si lo que he derivado es razonable. $$\left[\begin{array}{rrr|r} 2 & -2 & -3 & 0 \\ -2 & 30 & -5 & 10 \\ -3 & -5 & 26 & 0 \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & \frac{335}{538} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{215}{538} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{80}{538} \end{array}\right] $$ $$\hat b = \frac{335}{538}\vec u + \frac{215}{538}\vec v + \frac{80}{538}\vec w = \colv{\frac{275}{269} \\ \frac{255}{269} \\ \frac{275}{269} \\ \frac{270}{269}}$$ ¡Genial! Eso está muy cerca de $\vec b$ Así que espero que lo que he hecho sea correcto. Incluso si este método funciona, todavía estoy interesado en mi primer enfoque.
En una respuesta a esta pregunta, ¿podría abordar las cuestiones que he puesto en negrita?
