Utilizando la linealización del operador de curvatura escalar para obtener la segunda identidad de Bianchi contraída

Question

Estoy leyendo el libro "The Ricci Flow: An Introduction" y estoy en la parte en la que los autores demuestran las identidades de Bianchi utilizando la invariancia del difeomorfismo de la curvatura. Estoy atascado en algunos cálculos del párrafo siguiente:

Consideremos el operador de curvatura escalar $g \mapsto R_g$ y su linealización $DR_g$ definido por

$$D R_{g}(h)=-g^{i j} g^{k \ell}\left(\nabla_{i} \nabla_{j} h_{k \ell}-\nabla_{i} \nabla_{k} h_{j \ell}+R_{i k} h_{j \ell}\right) \ \ \ \ \ (1)$$

para cualquier $2$ tensor $h$ . Sustituyendo

$$h_{i j}=\left(\mathcal{L}_{X} g\right)_{i j}=\nabla_{i} X_{j}+\nabla_{j} X_{i}$$

(donde $X$ es un campo vectorial arbitrario) y las derivadas covariantes conmutativas dan como resultado

$$\begin{align} D R_{g}\left(\mathcal{L}_{X} g\right) &=-2 \Delta \nabla_{i} X^{i}-2 R_{i j} \nabla^{i} X^{j}+\nabla^{i} \nabla_{j} \nabla_{i} X^{j}+\nabla_{i} \nabla_{j} \nabla^{j} X^{i} \ \ (2)\\ &=2 X^{i} \nabla^{j} R_{i j} \ \ (3) \end{align}$$

No entiendo cómo pasar de $(1)$ a $(2)$ . Conmutando las derivadas, obtenemos (donde estoy usando la notación obvia $\nabla_{j, k} = \nabla_j \nabla_k$ ):

$$\nabla_{j, k} X_{\ell} - \nabla_{k, j} X_{\ell} = R_{jks}^{\ell} X^{s}$$

y con un poco de trabajo podemos sustituir $h = \mathcal{L}_{X} g$ en $(1)$ y obtener:

$$DR_g(h) = -g^{ij}g^{kl}\left( \nabla_{i} \left(R_{jks}^{\ell} X^{s} \right)- \nabla_{i}\left(R_{j{\ell}s}^{k} X^{s}\right) +R_{i k} h_{j \ell}\right) $$

pero todavía no puedo pasar de aquí a $(2)$ . Tampoco puedo ver cómo $(3)$ se desprende de $(2)$ . Llevo un tiempo atascado en esto y agradecería mucho alguna ayuda.

Answer 1

No es necesario conmutar las derivadas para pasar de (1) a (2); basta con introducir directamente la elección de $h_{ij}$ . Es decir, \begin{align*} g^{ij}g^{kl}\nabla_i\nabla_j h_{kl} & = \Delta g^{kl} h_{kl} = 2\Delta\nabla_i X^i, \\ g^{ij}g^{kl}\nabla_i\nabla_k h_{jl} & = \nabla^i\nabla^k h_{ik} = \nabla^i\nabla^k\nabla_i X_k + \nabla^i\nabla^k\nabla_k X_i, \\ g^{ij}g^{kl} R_{ik}h_{jl} & = R^{ik}h_{ik} = 2R^{ik}\nabla_iX_k ; \end{align*} la primera y la tercera línea utilizan aquí la simetría de $h_{ij}$ .

Para pasar de (2) a (3), primero se utiliza la definición de la curvatura de Ricci para escribir $$ \nabla_i\nabla_j\nabla^j X^i = \nabla_j\nabla_i\nabla^j X^i - R_{ij}\nabla^j X^i + R_{ij}\nabla^i X^j = \nabla_j\nabla_i\nabla^j X^i . $$ Utiliza de nuevo la definición de la curvatura de Ricci para escribir $$ \nabla_j\nabla_i\nabla^j X^i = \Delta\nabla_i X^i + \nabla_j(R_{ij}X^i) . $$ Introduciendo estos datos en (2) se obtiene \begin{align*} DR_g(\mathcal{L}_Xg) & = -2\Delta\nabla_iX^i + 2\nabla^i\nabla_j\nabla_i X^j - 2R_{ij}\nabla^iX^j \\ & = 2\nabla^j(R_{ij}X^i) - 2R_{ij}\nabla^i X^j \\ & = 2X^i\nabla^jR_{ij} , \end{align*} donde la última igualdad se desprende de la regla del producto. Esto da lugar a (3).