Los grupos de permutación del cuadrado de Rubik

Question

Este post está inspirado en esta página web de desafío matemático debido a Mickaël Launay (Francés).

Dejemos que $G_n$ sea el subgrupo de $S_{n^2}$ generada por las permutaciones de la flecha roja como para la siguiente imagen con $n = 5$ :

( Fuente : http://www.micmaths.com/defis/defi_07.html )

Podemos llamar a $G_n$ el n-ésimo grupo de permutación del cuadrado de Rubik.

Pregunta : Es $G_n$ un subgrupo estricto de $S_{n^2}$ ?

Answer 1

Veamos el conmutador de las operaciones de la fila superior y de la columna de la izquierda. Vemos fácilmente que la secuencia de movimientos $\leftarrow\uparrow\rightarrow\downarrow$ es un ciclo de tres que incluye las entradas en las posiciones $(1,1), (1,2), (2,1)$ . De forma similar para cualquier otro par de filas y columnas. Utilizando las potencias adecuadas de los movimientos elementales obtenemos 3 ciclos en cualquier triple de posiciones $(i,j), (i,k), (\ell,j)$ . Mucho depende de lo que podamos decir sobre el subgrupo generado por dichos 3 ciclos.

Afirmo que tales 3 ciclos generan el grupo alterno $A_{n^2}$ . Basta con demostrar que obtenemos todos los triciclos. La observación clave es que dos triciclos cualesquiera $\in A_4$ generar todos los $A_4$ a menos que compartan un punto fijo. Esto se debe a que el subgrupo generado es doblemente transitivo, y $A_4$ no tiene subgrupos propios doblemente transitivos. Lo que esto significa es que cualquier par de triciclos con una superposición de dos posiciones nos da cualquier triciclo entre las cuatro posiciones de la unión.

Así que dejemos $(i_t,j_t),t=1,2,3,$ sean tres posiciones cualesquiera. Los 3 ciclos en $(i_1,j_1),(i_2,j_2),(i_2,j_1)$ y $(i_1,j_1),(i_2,j_1),(i_2,j_3)$ así generan los 3 ciclos en $(i_1,j_1),(i_2,j_2),(i_2,j_3)$ . Junto con los 3 ciclos $(i_2,j_2),(i_2,j_3),(i_3,j_3)$ esto genera entonces el deseado 3 ciclos.

Por lo tanto, $A_{n^2}\le G_n$ .

Si $n$ es impar, entonces todos los generadores de $G_n$ están en $A_{n^2}$ , por lo que debemos tener $G_n=A_{n^2}$ . Pero si $n$ es par, entonces $G_n$ contiene también permutaciones impar y tenemos $G_n=S_{n^2}$ .

No diré nada sobre el gráfico de Cayley.