Declaración sobre Homotopy en Brown "Topología Y Groupoids"

Question

Estoy tratando de entender un comunicado en el Marrón de la Topología y Groupoids, 7.2.5 (Corolario 1), página 270.

Primero vamos a echar algunas observaciones preliminares

Deje $X,Y$ ser espacios topológicos. La pista groupoid $\pi Y^X$ se define como la groupoid cuyos objetos son los mapas $f:X\to Y$ y morfismos en $\pi Y^X(f,g)$ son los homotopies $f\simeq g,$ donde dos homotopies $F,G$ se identifican si que puede ser continuamente deformada en cada uno de los otros mientras que la fijación de la final de los mapas. Para $X=\{*\}$ obtenemos el fundamental groupoid $\pi Y.$ Un mapa de $i:A\to X$ induce una de morfismos $i^*:\pi Y^X\to\pi Y^A$ $i^*([F])=[F(i\times 1)].$

Deje $i:A\to X,\ u:A\to Y.$ $[(X,i),(Y,u)]$ nos referimos al conjunto de homotopy clases de mapas de $f:X\to Y,fi=u,$ donde un homotopy $F:f\simeq g$ es requerido para satisfacer $F(ia,t)=ua.$ (se dice $f$ $g$ son homotópica en $i.$)

(Puede que quiera saltarse esta parte sombreada como es probable que no sea relevante para el tema en particular.):

Deje $p : E → B$ ser una de morfismos de groupoids. Podemos decir $p$ es un fibration si el siguiente condición se tiene: para todos los objetos de $x$ $E$ y elementos $b$ $B$ con punto inicial $px,$ hay un elemento $e$ $E$ con punto inicial $x$ que $pe = b.$

Si $p : E → B$ es una de morfismos de groupoids y $u$ es un objeto de $B,$ escribimos $p^{-1}[u]$ para el subgroupoid de $E$ con los objetos de los $x$ en el Ob$(E)$ tal que $px = u,$ y con elementos de los $e$ $E$ tal que $pe = 1_u.$

Deje $\pi_0G$ denota el conjunto de los componentes de la $G.$ entonces tenemos:
Lema 1: Si $p:E\to B$ es un fibration de groupoids, a continuación, para cada una de las $b\in B(u,v)$ hay un bijection $$b_\#:\pi_0 p^{-1}[u]\to\pi_0 p^{-1}[v]$$ which respects identities and composition. Namely, if $x$ is an object with $px=u$, we assign to the component of $x$ the component of the object $s$ which is the codomain of the element $e$ such that $pe=b.$

Lema 2: Un cofibration $i:A\hookrightarrow X$ induce un fibration $i^*:\pi Y^X\to\pi Y^A.$

Lema 3: Deje $i:A\hookrightarrow X$ ser un cofibration. Deje $u:A\to Y$ ser un mapa. Deje $p=i^∗:πY^X\to πY^A.$, Entonces hay un canónica bijection $$π_0 p^{−1}[u]\cong[(X, i), (Y, u)].$$

En la prueba del Lema 3 utilizamos el siguiente hecho. Quizá resulta ser útil en la solución de mi pregunta:

Lema 4: Deje $i:A→X$ ser un cofibration. Deje $H:X\times\Bbb I→Y$ ser un homotopy $f≃g,$ y deje $G=H(i\times1)$ ser homotópica rel final se asigna a $G′:u≃v.$ $H$ es homotópica rel final se asigna a algunos $H′:f≃g$ tal que $H'(i\times 1)=G'.$

Ahora podemos combinar los tres lemas para derivar las siguientes

Corolario: Vamos a $i:A\hookrightarrow X$ ser un cofibration y $α\in πY^A(u,v).$, Entonces hay un bijection $$α_\#:[(X, i), (Y, u)] → [(X, i), (Y, v)]$$

Me he dado cuenta de que este bijection funciona de la siguiente manera:
Elegir un representante de $F$ $\alpha.$ Para un homotopy clase $[f]$, un representante de la $f:X\to Y,\ fi=u.$ El homotopy $F:u\simeq v$ $A$ puede ser extendida a una homotopy $G:f\simeq g'.$, Luego tenemos a $[g']=\alpha_\#([f]).$

Ahora, Brown escribe

También, si $α_\#([f]) = [g],$, a continuación, cualquier representante de $α$ se extiende a un homotopy $f\simeq g.$

No veo por qué esto debería ser obvio. Sé que si $F:u\simeq v,\ F\in\alpha,$, entonces no es una extensión de $f\cup F$ a un homotopy $G:f\simeq g'$ algunos $g:X\to Y,\ g'i=v.$ $g'$ es homotópica en $i$ $g.$Pero no veo cómo estas homotopies pueden ser combinados para un homotopy $f\simeq g$ que se extiende $F.$

Answer 1

El lema 3 es más profundo de lo que parece : hay que probar que si hay un homotopy $G : f \to g$ tal que $i^*(G) = F : u \to u$ es homotópica a $id_u$, entonces no es un homotopy $G' : f \to g$ que está por encima de $i$$u$.

A partir de un homotopy $H : F \to id_u$ y un retroceso $G : f \to g$$F$, puede pullback $H$ a un homotopy $H' : G \to G'$ tal que $i^*(H') = H$. Por lo tanto $i^*(G') = id_u$ $G' : f \to g$ es un homotopy por encima de $i$$u$.

Y esto en realidad es usada cuando se muestra que el homotopy clase de $\alpha_\sharp(f)$ está bien definido por su construcción :

Supongamos $F : u \to v$ $f : X \to Y$ tal que $i^*(f) = u$.

Por el lema 2, $i^* : \pi Y^X \to \pi Y^A$ es un fibration, y $F$ se puede tirar hacia atrás : hay algunos $g \in i^{*-1}(v)$ y algunos $G : f \to g$ tal que $F = i^*(G)$. Recogemos $F_\sharp(f) = g$.

Por el lema 1, si hay un homotopy entre el $f$ $f'$ sobre $i,u$, entonces no es un homotopy entre el $g$ $g'$ sobre $i,v$. En particular (recogiendo $id_f : f \to f$), si hay varias posibles $g$ para el mismo $f$, son homotópica : si $G : f \to g$ $G' : f \to g'$ son dos pullbacks de $F$, $G' G^{-1} : g \to g'$ es un homotopy cuya imagen por $i^*$$F F^{-1}$. Esto no es $id_v$, por lo que este homotopy no está por encima de $i$$v$. Sin embargo, $F F^{-1}$ es homotópica a $id_v$. Como debe ser explicado en el lema 3, puede retroceso de este inicio de $G'G^{-1}$ para obtener una nueva homotopy $g \to g'$ cuya imagen por $i^*$$id_v$, lo que significa que está por encima de $i$$v$.

Por tanto, aunque $g = F_\sharp(f)$ sí no está totalmente determinado, su homotopy clase, y sólo depende de la homotopy clase de $f$.

Lo que queda es para demostrar que si podemos elegir otro $F'$ homotópica a $F$ $g'$ es homotópica a $g$ sobre $i$$v$, (y de hecho, $G$ es homotópica a $G'$)

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Usted puede probar directamente desde lema 3 que si $\alpha = [id_u]$ $\alpha_\sharp([f]) = [f]$ forall $[f] \in [(X,u),(Y,u)]$ :

Si $H : F \to id_u$$\pi Y^A(u,u)$, y si usted tiene un pullback $G : f \to g$$F$, esta es una verdadera flecha en $i^{*-1}(u)$ (desde $i^*G = F \equiv id_u$). Por lo tanto $f$ $g$ están en el mismo componente en $\pi_0i^{*-1}(u)$. Por el lema 3, que se encuentran en el mismo homotopy de clase por encima de $i$$u$, y por lo $[f] = [g]$ (de nuevo, se interrumpe el homotopy entre el $F$ $id_U$ a partir de $G$ para obtener una nueva homotopy de$f$$g$, que está por encima de $i$$u$)

Por lo tanto $id_{u\sharp} = id_{[(X,u),(Y,u)]}$. Luego puede argumentar que $F_\sharp G_\sharp = (FG)_\sharp$$(F_\sharp)^{-1} = (F^{-1})_\sharp$, a continuación, utilizar el hecho de que si $F$ $G$ son homotópica, a continuación, $G^{-1}F$ es homotópica a $id_U$, y a la conclusión de que hay que $F_\sharp = G_\sharp$.

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También puede hacer esto haciendo un verdadero retroceso directamente desde el homotopy :

Supongamos que $F_1,F_2 : u \to v$, $H : F_1 \to F_2$ es un homotopy y $f : X \to Y$ satisface $i^*(f) = u$.

Entonces podemos pullback $F_1$ a un homotopy $G_1 : f \to g$ donde$i^*(g) = v$$i^*(G_1) = F_1$. Entonces podemos pullback $H$ a un homotopy $H' : G_1 \to G_2$ donde $i^*(H') = H$ por lo tanto $i^*(G_2) = F_2$. Por lo $G_2 : f' \to g'$ donde$i^*(f') = u$$i^*(g') = v$.
Las caras de $H'$ darle un homotopy $f \to f'$ sobre $i$$u$, un homotopy $g \to g'$ sobre $i$$v$. La combinación de los con $G_1$ o $G_2$ dar homotopies entre el $f$ $g$ (que puede tener uno por encima de $F_1$ y uno por encima de $F_2$), y son homotópica (debido a $H'$ es el homotopy entre ellos)

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Así que tenemos una buena definición de mapa entre homotopy clases de homotopies $F : u \to v$ y homotopy clases de $f$ sobre $u$, a homotopy clases de $g$ sobre $v$, y en el hecho de que homotopy clases de homotopies $G : f \to g$,

Answer 2

Por fin he descubierto. La solución es buscar cuidadosamente en la prueba del Lema 1 y sus implicaciones.

Suponga que $b\in B(u,v)$. Deje $x$ ser un objeto en $p^{-1}[u]$$px=u$. Como $p$ es un fibration, hay una flecha $e$, a partir de $x$ y terminando en un objeto que vamos a denotar $y$, de tal manera que $pe=b$. Entonces podemos definir el $b_\#(\bar x)=\bar y$. Por supuesto, tenemos que comprobar esto está bien definido. Para este fin, vamos a $x'$ ser otro objeto en $\bar x$, y deje $e'$ ser una flecha en $E(x',y')$$pe'=b$. Entonces hay una morfismos $d:x\to x'$ tal que $pd=1_u$. Ahora, $e'de^{-1}$ es una flecha de $y$$y'$$p(e'de^{-1})=b1_yb^{-1}=1_v$. Eso significa que $y$ $y'$ están en la misma componente de $p^{-1}[v]$. Por lo tanto la acción de $B$ $\pi_0p^{-1}[u]$ está bien definido. $\square$

Además, si $b_\#(\bar x)=\bar y$, entonces no es una flecha $e$, a partir de $x$ y terminando en algunos $y'$ tal que $pe=b$$\bar y'=\bar y$. Pero luego también hay una flecha $d:y'\to y$$pd=1_v$. La composición de la $de$ mapas a $b$. Así que podemos decir que $b_\#(\bar x)=\bar y$ si y sólo si algunos de flecha de $x$ $y$ascensores $b$.

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Ahora, si $i:A↪X$ es un cofibration y $u:A→Y$ un mapa, a continuación, $p:=i^*:πY^X→πY^A$ es un fibration. Además, $πY^A$ opera en la familia de conjuntos de $π_0 p^{-1}[u],\ u:A\to Y$ través $α_\#\bar x=\bar y$.
Para responder a la pregunta, supongamos que $α_\#\bar f=\bar g$ y $H:u≃v$ es un elemento en el $α$. A continuación, hay una flecha $β∈πY^X(f,g)$ que se asigna a $α$ través $p$. Si $K:f≃g$ es un representante de $\beta$, $pβ=α$ significa que $K(i×1)$ es homotópica rel $u,v$ $H.$El lema 4 en mi pregunta, a continuación, afirma que $K$ es homotópica rel $f,g$ a un homotopy $K':f≃g$ que se extiende $H$. Esto muestra que si $α_\#\bar f=\bar g$, cualquier representante de $H$ $α$ puede ser extendida a una homotopy $f≃g$.

En particular, podemos tomar $α=1_u$ representado por el homotopy $H$ de duración $r$ tal que $H(a,s)=u(s)$. A continuación, $α_\#(\bar f)=\bar g$ fib $f$ $g$ están en la misma componente de $p^{-1}[u]$. Por el resultado anterior de la constante homotopy $H:u≃u$ puede ser extendida a una homotopy $K:f≃g$, lo que significa que $f$ $g$ son homotópica en $A$ y por lo tanto están en la misma homotopy clase de $[(X,i),(Y,u)]$. Es por eso que tenemos un bijection $$π_0p^{−1}[u]≅[(X,i),(Y,u)]$$ and, consequently, $nY^$ actúa sobre el conjunto de homotopy clases: $$α_\#:[(X,i),(Y,u)]\to[(X,i),(Y,v)]$$

Answer 3

Deje $i:A\rightarrow X$ ser un cofibration y $Y$ un espacio topológico. Con 7.2.5 (Lema) en la página 269 nosotros encontrar:

$\text{cls }H\left(i\times1\right)=\left\{ H'\left(i\times1\right)\mid H'\in\text{cls }H\right\}$ para cada homotopy $H:X\times\mathbb{I}\rightarrow Y$.

Deje $F:u\simeq v$ para$u,v:A\rightarrow Y$$fi=u$.

Deje $\alpha:u\rightarrow v$ ser una flecha en $\pi Y^{A}$ representado por $F$ ( $\alpha=\text{cls }F$ ) y deje $g$ ser un representante de $\alpha_{\#}\left[f\right]$ aquí (es decir,$\alpha_{\#}\left[f\right]=\left[g\right]$).

Desde $i^{*}:\pi Y^{X}\rightarrow\pi Y^{A}$ es un fibration hay una flecha $\text{cls }H:f\rightarrow g$ en $\pi Y^{X}$$i^{*}\left(\text{cls }H\right)=\text{cls }F=\alpha$. Por lo $\alpha=\text{cls }H\left(i\times1\right)=\left\{ H'\left(i\times1\right)\mid H'\in\text{cls }H\right\}$ es decir, que $F=H'\left(i\times1\right)$ algunos $H':f\simeq g$