Ayuda para encontrar el grupo fundamental de $S^2 \cup \{xyz=0\}$

Question

Dejar $X=S^2 \cup \{xyz=0\}\subset\mathbb{R}^3$ sea la unión de la esfera unitaria con los 3 planos de coordenadas. Me gustaría encontrar el grupo fundamental de $X$ .

Estas son mis ideas:

Creo que lo primero que debería hacer es retraer todos los puntos fuera de la esfera a la esfera (¿es posible? ¿cómo?)

entonces usando coordenadas esféricas podría hacer la siguiente deformación: $(1,\phi,\theta)\to ((\sin\phi \sin\theta \cos \phi\cos \theta)^t,\phi,\theta)$ . Esto colapsa todo el punto en $S^2 \cap \{xyz=0\}$ a $0$ obteniendo $8$ esferas deformadas que se tocan entre sí en $0$ (como puedo demostrar rigurosamente que son simplemente conectadas), utilizando el teorema de Van Kampen podemos decir que $X$ está simplemente conectado.

Answer 1

Si quieres seguir con la discusión que iniciaste (lo cual me parece bien), te sugiero que consideres el mapa $$F: R^3 \times I \to R : (x, s) \mapsto \begin{cases} x & |x| \le 1 \\ (1-s) \frac{x}{\|x\|} + s (x - \frac{x}{\|x\|}) & \text{otherwise} \end{cases}$$ Eso retrae las cosas en la esfera más los tres discos de coordenadas dentro de ella.

Si ahora dejas que $U'$ sea el exterior de una bola de radio $1/2$ y $V'$ sea el interior de una bola de radio $3/4$ en el espacio 3, y $U$ y $V$ sean las intersecciones de éstas con su espacio, se puede aplicar van Kampen y encontrar que $\pi_1$ es trivial.