Tamaño de la clase de conjugación en el subgrupo comparado con el tamaño de la clase de conjugación en el grupo

Question

Dada:

$\bullet$ Un grupo finito $G$ , un subgrupo de índice 2 $H$ , un elemento $a \in H$
$\bullet$ $[a]_H$ y $[a]_G$ son la clase de conjugación en $H$ de $a$ y la clase de conjugación en $G$ de $a$ , respectivamente

Para probar:
$[a]_H = [a]_G$ o $[a]_H$ es la mitad del tamaño de $[a]_G$ dependiendo de si el centralizador $Z_G(a)$ está contenida en $H$ .

Intento :
$H$ ser de índice 2 significa que $H$ es normal, lo que significa que $H \cdot Z_G(a)$ es un subgrupo de $G$ . Por el Segundo Teorema de Isomorfismo, $(H \cdot Z_G(a)) \, / \,H \cong Z_G(a) \, / \, (H \cap Z_G(a))$ . Si $Z_G(a)$ está contenida en $H$ entonces $H \cap Z_G(a) = Z_G(a)$ y el grupo del lado derecho del isomorfismo es trivial, y por lo tanto el grupo del lado izquierdo también es trivial, y así $|H \cdot Z_G(a))| = |H|$ .

¿A dónde voy a partir de aquí? ¿Puedo decir que $H$ debe ser igual a $H \cdot Z_G(a))$ ? Aunque pudiera, no sé cómo continuar.

Answer 1

Paso 1. A partir del teorema del estabilizador de la órbita:

$$|G| = |[a]_G| \cdot |Z_G(a)|, \quad |H| = |[a]_H| \cdot |Z_H(a)|.$$

Por lo tanto,

$$\frac{|[a]_G|}{|[a]_H|} = \frac{|G|}{|H|} \cdot \left(\frac{|Z_G(a)|}{|Z_H(a)|}\right)^{-1} = 2 \cdot \left(\frac{|Z_G(a)|}{|Z_H(a)|}\right)^{-1}$$

Paso 2. Tenemos $Z_H(a) = Z_G(a) \cap H$ .

Paso 3. Existe un homomorfismo:

$$\varphi: Z_G(a) \hookrightarrow G \rightarrow G/H.$$

El núcleo es precisamente $Z_G(a) \cap H = Z_H(a)$ . Así, por el primer teorema de isomorfismo,

$$Z_G(a)/Z_H(a) \simeq \mathrm{im}(\varphi) \subset G/H,$$

Desde $G/H$ tiene orden $2$ se deduce que $Z_G(a)/Z_H(a)$ es o bien trivial o un grupo de orden 2.

Caso 1. $Z_G(a) \subset H$ . Esto significa que $Z_H(a) = Z_G(a)$ y por lo tanto $Z_G(a)/Z_H(a)$ es trivial, por lo que

$$\frac{|[a]_G|}{|[a]_H|} = 2.$$

Caso 2. $Z_G(a) \not\subset H$ . Esto significa que $Z_H(a) \ne Z_G(a)$ y por lo tanto $Z_G(a)/Z_H(a)$ es no trivial, y por lo tanto (por lo anterior) de orden $2$ y

$$\frac{|[a]_G|}{|[a]_H|} = \frac{2}{2} = 1.$$