Sobre la probabilidad de colocar tazas en platillos

Question

Un juego de té consta de seis tazas y platillos con dos tazas y platillos es cada uno de los tres colores diferentes. Las tazas se colocan al azar en los platillos. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna taza esté en un platillo del mismo color?

¿Qué tiene de malo la siguiente solución?

Actualización: La pregunta ha dejado de serlo ya que he conseguido resolverla de forma correcta gracias a la respuesta de @N. F. Taussig, que me ayudó a detectar algunos errores en la versión anterior. Sin embargo, se puede ver como una solución basada en un espacio muestral ordenado. Véase la respuesta de @N. F. Taussig para una solución basada en un espacio muestral desordenado. Véase también aquí para una respuesta diferente a este problema. Aquí, estoy tratando de resolverlo usando la inclusión-exclusión general (al igual que @N. F. Taussig) principio .

Solución

Mi (largo) razonamiento es el siguiente. Dejemos que los colores sean el azul, el azul y el cian y que $A_1$ sea el suceso "la primera taza azul está en un platillo azul". Del mismo modo, dejemos que $B_1$ = "la primera taza azul está en un platillo azul" y $C_1$ = "la primera taza cian está en un platillo cian".

Entonces la probabilidad requerida es:

$\Pr((A_1\cup A_2\cup B_1\cup B_2\cup C_1\cup C_2)^c) = 1-\Pr(A_1\cup A_2\cup B_1\cup B_2\cup C_1\cup C_2)$ .

Ahora hay $720=6!$ formas igualmente probables de poner seis tazas en los seis platillos. En $2\cdot 5!$ de ellos $A_1$ se produce; en $2\cdot 5!$ de ellos $A_2$ se produce; y en $2\cdot 4!$ de ellos, $A_1\cap A_2$ ocurre. Lo mismo ocurre con $B_1, B_2$ y $C_1,C_2$ . También tenemos que $\Pr(A_i\cup B_j) = \Pr(A_i\cup C_j) = \Pr(B_i\cup C_j) = \frac{2\cdot 2\cdot 4!}{6!}$ para todos $i,j\in\{1,2\}$ . Siendo la suma de probabilidades de todos los posibles eventos dobles $\frac{54\cdot 4!}{6!}$ .

Hay 20 triples de eventos $A_1\cap A_2\cap B_1,A_1\cap A_2\cap B_2,...$ . De ellos, 12 eventos están formados por dos del mismo color y uno de diferente color, por ejemplo $A_1\cap A_2\cap B_1$ y 8 eventos son todos de diferentes colores, por ejemplo $A_1\cap B_1\cap C_1$ . Para un triple con dos colores tenemos $\Pr(A_1\cap A_2\cap B_1) = \frac{2\cdot 3!}{6!}$ y para un triple de tres colores diferentes tenemos $\Pr(A_1\cap B_1 \cap C_1) = \frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 3!}{6!}$ Siendo la suma de probabilidades de todos los posibles eventos triples $$12\frac{2\cdot 3!}{6!}+8\frac{8\cdot 3!}{6!} = \frac{112\cdot 3!}{6!}.$$

Hay 15 eventos hechos por la intersección de cuatro eventos (simples), por ejemplo $A_1\cap A_2\cap B_1\cap B_2,\ldots$ . De ellos, 3 son de doble color, por ejemplo $A_1\cap A_2\cap B_1\cap B_2$ y 12 son de triple color, por ejemplo $A_1\cap A_2\cap B_1\cap C_1$ . Para un doble color tenemos $\Pr(A_1\cap A_2\cap B_1\cap B_2)=\frac{2\cdot 2 \cdot 2!}{6!}$ y para un triple color tenemos $\Pr(A_1\cap A_2\cap B_1\cap C_1) = \frac{2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2!}{6!}$ . La suma de todos los eventos realizados por la intersección de cuatro eventos es $$3\frac{4\cdot 2!}{6!}+12\frac{8\cdot 2!}{6!} = \frac{108\cdot 2!}{6!}.$$

Hay 6 eventos hechos por la intersección de cinco eventos simples, por ejemplo $A_1\cap A_2\cap B_1\cap B_2\cap C_1,\ldots$ y la suma de las probabilidades de estos eventos es

$$6\frac{2\cdot 2\cdot 2}{6!}.$$

Finalmente, también hay que tener en cuenta el último acontecimiento $$\Pr(A_1\cap A_2\cap B_1\cap B_2 \cap C_1\cap C_2) = \frac{8}{6!}.$$

Poniendo todo junto encontré que

$$\Pr(A_1\cup A_2\cup B_1\cup B_2\cup C_1\cup C_2) = 6\frac{2\cdot 5!}{6!} -\frac{54\cdot 4!}{6!} + \frac{112\cdot 3!}{6!}-\frac{108\cdot 2!}{6!}+\frac{6\cdot 8}{6!}-\frac{8}{6!} = \frac{640}{720}.$$

Por lo tanto, $$\Pr((A_1\cup A_2\cup B_1\cup B_2\cup C_1\cup C_2)^c) = 1-\frac{640}{720} = \frac{1}{9}.$$

Answer 1

Coloca los platillos en la mesa en el orden: azul, azul, azul, cian, cian.

Tratemos las tazas del mismo color como indistinguibles.

Hay $\binom{6}{2}$ formas de elegir dos de las seis posiciones para las copas azules, $\binom{4}{2}$ maneras de elegir dos de las cuatro posiciones restantes para las copas azules, y $\binom{2}{2}$ formas de elegir las dos posiciones restantes para las copas cian. Por lo tanto, las copas pueden distribuirse sin restricciones en $$\binom{6}{2, 2, 2} = \binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2} = \binom{6}{2}\binom{4}{2}$$ formas distinguibles.

De estas distribuciones, debemos excluir aquellas en las que una o más tazas se colocan sobre un platillo del mismo color.

Dejemos que $A_i$ ser el caso de que se coloque una copa azul en el $i$ el platillo azul; que $B_i$ ser el caso de que se coloque una copa azul en el $i$ el platillo azul; que $C_i$ ser el caso de que se coloque un vaso cian en el $i$ el platillo cian.

$|A_1|$ : Como se coloca una copa azul en el primer platillo azul, quedan dos copas azules, dos copas cian y una copa azul para distribuir en los cinco platillos restantes. Se pueden distribuir en $$\binom{5}{1, 2, 2} = \binom{5}{1}\binom{4}{2}\binom{2}{2} = \binom{5}{1}\binom{4}{2}$$ formas distinguibles. Por simetría, $$|A_1| = |A_2| = |B_1| = |B_2| = |C_1| = |C_2|$$

$|A_1 \cap A_2|$ : Como las dos copas azules se han colocado en platillos azules, quedan dos azules y dos copas para distribuir en los cuatro platillos restantes. Se pueden distribuir en $$\binom{4}{2, 2} = \binom{4}{2}\binom{2}{2} = \binom{4}{2}$$ formas. Por simetría, $$|A_1 \cap A_2| = |B_1 \cap B_2| = |C_1 \cap C_2|$$

$|A_1 \cap B_1|$ : Dado que se ha colocado una copa azul en el primer platillo azul y una copa azul en el primer platillo azul, quedan dos copas cian, una copa azul y una copa azul para distribuir en los cuatro platillos restantes. Se pueden distribuir en $$\binom{4}{1, 1, 2} = \binom{4}{1}\binom{3}{1}\binom{2}{2} = \binom{4}{1}\binom{3}{1}$$ formas distinguibles. Por simetría, $$|A_1 \cap B_1| = |A_1 \cap B_2| = |A_1 \cap C_1| = |A_1 \cap C_2| = |A_2 \cap B_1| = |A_2 \cap B_2| = |A_2 \cap C_1| = |A_2 \cap C_2| = |B_1 \cap C_1| = |B_1 \cap C_2| = |B_2 \cap C_1| = |B_2 \cap C_2|$$

$|A_1 \cap A_2 \cap B_1|$ : Como las dos copas azules se han colocado en los platillos azules y se ha colocado una copa azul en el primer platillo azul, quedan dos copas cian y una azul para distribuir en los tres platillos restantes. Se pueden distribuir en $$\binom{3}{1, 2} = \binom{3}{1}\binom{2}{2} = \binom{3}{1}$$ formas distinguibles. Por simetría, $$|A_1 \cap A_2 \cap B_1| = |A_1 \cap A_2 \cap B_2| = |A_1 \cap A_2 \cap C_1| = |A_1 \cap A_2 \cap C_2| = |A_1 \cap B_1 \cap B_2| = |A_2 \cap B_1 \cap B_2| = |A_1 \cap C_1 \cap C_2| = |A_2 \cap C_1 \cap C_2| = |B_1 \cap B_2 \cap C_1| = |B_1 \cap B_2 \cap C_2| = |B_1 \cap C_1 \cap C_2| = |B_2 \cap C_1 \cap C_2|$$

$|A_1 \cap B_1 \cap C_1|$ : Dado que se ha colocado una copa azul en el primer platillo azul, una copa azul en el primer platillo azul y una copa cian en el primer platillo cian, tenemos una copa azul, una copa azul y una copa cian para distribuir en los tres platillos restantes. Se pueden distribuir en $$\binom{3}{1, 1, 1} = \binom{3}{1}\binom{2}{1}\binom{1}{1} = 3!$$ formas distinguibles. Por simetría, $$|A_1 \cap B_1 \cap C_1| = |A_1 \cap B_1 \cap C_2| = |A_1 \cap B_2 \cap C_1| = |A_1 \cap B_2 \cap C_2| = |A_2 \cap B_1 \cap C_1| = |A_2 \cap B_1 \cap C_2| = |A_2 \cap B_2 \cap C_1| = |A_2 \cap B_2 \cap C_2|$$

$|A_1 \cap A_2 \cap B_1 \cap B_2|$ : Como las dos copas azules se han colocado en platillos azules y las dos copas azules se han colocado en platillos azules, hay dos copas cian para distribuir en los dos platillos restantes. Se pueden distribuir en $$\binom{2}{2}$$ formas distinguibles. Por simetría, $$|A_1 \cap A_2 \cap B_1 \cap B_2| = |A_1 \cap A_2 \cap C_1 \cap C_2| = |B_1 \cap B_2 \cap C_1 \cap C_2|$$

$|A_1 \cap A_2 \cap B_1 \cap C_1|$ : Como las dos copas azules se han colocado en platillos azules, una copa azul se ha colocado en el primer platillo azul, y una copa cian se ha colocado en el primer platillo cian, tenemos una copa azul y una copa cian para distribuir en los dos platillos restantes. Se pueden distribuir en $$\binom{2}{1, 1} = \binom{2}{1}\binom{1}{1} = 2!$$ formas distinguibles. Por simetría, $$|A_1 \cap A_2 \cap B_1 \cap C_1| = |A_1 \cap A_2 \cap B_1 \cap C_2| = |A_1 \cap A_2 \cap B_2 \cap C_1| = |A_1 \cap A_2 \cap B_2 \cap C_2| = |A_1 \cap B_1 \cap B_2 \cap C_1| = |A_1 \cap B_1 \cap B_2 \cap C_2| = |A_2 \cap B_1 \cap B_2 \cap C_1| = |A_2 \cap B_1 \cap B_2 \cap C_2| = |A_1 \cap B_1 \cap C_1 \cap C_2| = |A_1 \cap B_2 \cap C_1 \cap C_2| = |A_2 \cap B_1 \cap C_1 \cap C_2| = |A_2 \cap B_2 \cap C_1 \cap C_2|$$

$|A_1 \cap A_2 \cap B_1 \cap B_2 \cap C_1|$ : Como las dos tazas azules se han colocado en platillos azules, las dos tazas azules se han colocado en platillos azules, y una taza cian se ha colocado en el primer platillo azul, la taza cian restante debe colocarse en el platillo restante. Hay una forma de hacerlo. Por simetría, $$|A_1 \cap A_2 \cap B_1 \cap B_2 \cap C_1| = |A_1 \cap A_2 \cap B_1 \cap B_2 \cap C_2| = |A_1 \cap A_2 \cap B_1 \cap C_1 \cap C_2| = |A_1 \cap A_2 \cap B_2 \cap C_1 \cap C_2| = |A_1 \cap B_1 \cap B_2 \cap C_1 \cap C_2| = |A_2 \cap B_1 \cap B_2 \cap C_1 \cap C_2|$$

$|A_1 \cap A_2 \cap B_1 \cup B_2 \cap C_1 \cap C_2|$ : Dado que las dos copas azules se han colocado en platillos azules, las dos copas azules se han colocado en platillos azules y las dos copas cian se han colocado en platillos cian, no quedan copas para distribuir. Hay una forma de hacerlo.

Así, por el Principio de Inclusión-Exclusión, el número de formas de distribuir las tazas para que ninguna taza esté sobre un platillo del mismo color es $$\binom{6}{2}\binom{4}{2} - 6\binom{5}{1}\binom{4}{2} + 3\binom{4}{2} + 12\binom{4}{1}\binom{3}{1} - 12\binom{3}{1} - 8 \cdot 3! + 3 \cdot 1 + 12 \cdot 2! - 6 \cdot 1 + 1$$

Por lo tanto, la probabilidad de que ninguna taza esté en un platillo del mismo color es $$\frac{\binom{6}{2}\binom{4}{2} - 6\binom{5}{1}\binom{4}{2} + 3\binom{4}{2} + 12\binom{4}{1}\binom{3}{1} - 12\binom{3}{1} - 8 \cdot 3! + 3 \cdot 1 + 12 \cdot 2! - 6 \cdot 1 + 1}{\binom{6}{2}\binom{4}{2}}$$

Answer 2

Lo que sí necesitamos aquí es una fábrica de pinturas.

La ecuación de las dos especies asociadas es :

$F = 1 + (R+G+B)(r+g+b)F$ et

$F = 1 + (Rr+Rg+Br+Bg+Gr+Gb)F $

La función generadora de la primera "línea de producción" es: $f(x_R,x_G,x_B,x_r,x_g,x_b) = {1 \over 1-(x_R+x_G+x_B)(x_r+x_g+x_b)} $

En Maple, el coeficiente de $x_R^2x_G^2x_B^2x_r^2x_g^2x_b^2$ es $8100$ y representa el número de todas las pinturas posibles de seis conjuntos de porcelana bajo las restricciones iniciales de ocurrencias de color.

La función generadora de la segunda "línea de producción" es: $f(x_R,x_G,x_B,x_r,x_g,x_b) = {1 \over 1 - (x_Rx_r+x_Rx_g+x_Bx_r+x_Bx_g+x_Gx_r+x_Gx_b)} $

Teniendo en cuenta el segundo coeficiente obtenemos:

$P= {900 \over 8100} = {1 \over 9}$