Prueba intuitiva de que la primera $(n-2)$ las coordenadas en una esfera son uniformes en una bola

Question

Es un hecho clásico que si $(x_1,\ldots,x_n)$ es un vector aleatorio distribuido uniformemente en la esfera $S^{n-1} \subseteq \mathbb{R}^n$ entonces el vector aleatorio $(x_1,\ldots,x_{n-2})$ se distribuye uniformemente en la bola unitaria $B_{n-2} = \{ (y_1,\ldots,y_{n-2}) \mid \sum_{i=1}^{n-2} y_i^2 \le 1\} \subseteq \mathbb{R}^{n-2}$ . En el lenguaje de la teoría de la medida, la medida de volumen en $B_{n-2}$ mediante la proyección de coordenadas $S^{n-1} \to B_{n-2}$ , $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto (x_1,\ldots,x_{n-2})$ es una medida de Hausdorff en $S^{n-1}$ (hasta la normalización). Aparentemente, el $n=3$ caso era conocido por Arquímedes.

¿Existe una prueba geométrica intuitiva de esto, que en particular explique por qué se dejan caer 2 coordenadas, en lugar de 1 o 3 o ...? ¿O incluso alguna heurística que explique el 2?

Ya sé que es razonablemente hábil probabilístico pruebas de este resultado, incluyendo una versión para $\ell_p$ normas cuando $p$ es un número entero y se proyecta sobre el primer $n-p$ coordenadas (utilizando la distribución correcta en el $\ell_p$ esfera, que no es superficie, salvo $p=1,2$ ), pero por lo que veo sólo hacen que parezca una coincidencia que las cosas salgan así. (Y por lo que sé, tal vez lo sea).

Answer 1

Un punto de vista, que es un poco desatinado para su construcción pero válido, es que el resultado general es un corolario del teorema de Arquímedes, que la proyección desde una 2-esfera $S^2$ a un intervalo $I$ es la preservación de la medida. Lo veas o no como una coincidencia, el teorema de Arquímedes tiene una importante generalización. A saber, $S^2$ es el ejemplo más simple de una variedad tórica proyectiva, y la proyección de coordenadas es su mapa de momento tórico. El mapa de momentos de cualquier variedad tórica proyectiva preserva la medida. Por ejemplo, el mapa de momentos de $\mathbb{C}P^n$ a la $n$ -simplemente muestra que el volumen de Fubini-Study del primero es $\pi^n/n!$ . También puedes reconocerlo como el volumen de la bola de la unidad $B_{2n}$ . Existe un mapa simpléctico simple de $B_{2n}$ a $\mathbb{C}P^n$ que es 1 a 1 en el interior y cotiza el límite a $\mathbb{C}P^{n-1}$ . (Aprendí/me di cuenta de estos hechos en una vieja discusión con Doug Ravenel y Yael Karshon .)

Así que se podría decir que la relación original tiene una buena explicación en la geometría compleja y simpléctica, y que la explicación se ha disfrazado un poco en la geometría real. Además, ese 2 surge porque $\dim_\mathbb{R} \mathbb{C} = 2$ .

Answer 2

Dando vueltas a las mismas ideas que se expusieron anteriormente (no estoy seguro de que existan dos argumentos fundamentalmente diferentes), permítanme dar una prueba geométrica aproximada.

Supongamos que se proyecta la medida uniforme sobre $\mathbb{S}^{n-1}$ en $\mathbb{B}^{n-k}$ . Para calcular la densidad de la medida proyectada con respecto a la medida de Lebesgue, hay que tener en cuenta dos factores :

• el tamaño de la imagen inversa del punto, que es una esfera de dimensión $k-1$ y el radio $r=\sqrt{1-R^2}$ , $R$ siendo la distancia del punto al centro,
• la anchura $d\ell$ del corte alrededor de la imagen inversa, que está inclinada: $d\ell = \sqrt{dr^2+dR^2} = \frac1r dR$ (es un cálculo de dos líneas que puede parecer mágico, pero hay que utilizar la ecuación de una esfera de alguna manera, ¿no?)

Se obtiene una densidad proporcional a $r^{k-1}/r$ para que sea constante hay que tomar $k=2$ .

Answer 3

Me encuentro muy confundido por todo esto, y sospecho que debo estar pasando por alto algo muy importante, y espero que alguien (¿Greg?) pueda aclararme.

Consideremos el caso clásico $n=3$ Así que estamos proyectando desde el $2$ -esfera $S$ sobre su proyección en el $x$ -eje, es decir, el intervalo $I = [-1,1]$ utilizando el mapa $(x,y,z) \mapsto x$ .

La proyección de Arquímedes que se ha mencionado varias veces es muy diferente: es la proyección de $S$ al cilindro circular derecho $C$ tangente a la esfera a lo largo de su ecuador. Estoy de acuerdo en que esto preserva la medida (es decir, el área). (¿Quién soy yo para discutir con Arquímedes?) Por otra parte, la proyección mencionada por el OP es una reducción de la dimensión, por lo que parece que estamos comparando el área de una región con la longitud de su proyección.

Ahora bien, la proyección de S sobre I no puede ser una medida de conservación, ¿verdad? En primer lugar, no parece ser dimensionalmente correcta. Consideremos, por ejemplo, un pequeño casquete esférico de radio $r$ centrado en $(0,0,1)$ . En primer lugar, su área es $\pi r^2$ . Sin embargo, su proyección es el intervalo $[-r,r]$ que tiene una longitud $2r$ . ¿Cómo pueden ser proporcionales estas cantidades? Y lo que es peor, si aplicamos una rotación, el área del casquete esférico permanece constante, pero el área de su proyección varía enormemente.

Me parece que debo estar malinterpretando de alguna manera la pregunta original, pero no he podido reinterpretarla de forma coherente con su redacción.

Answer 4

En un comentario, Mark Meckes preguntó por un argumento para reducir la $n\geq 4$ caso a la $n=3$ caso. Sea $n\geq n'\geq 3.$ Una función suave en un conjunto convexo $B$ es constante si y sólo si la restricción a cada $B\cap S,$ donde $S$ es un $(n'-2)$ -es constante. Al menos intuitivamente, esto significa que la medida pushforward sobre $B^{n-2}$ de la proyección $S^{n-1}\to B^{n-2}$ es uniforme si y sólo si existe una distribución condicional uniforme para cada $(n'-2)$ -subespacio dimensional. Pero fijar tal subespacio corresponde a restringir a una versión escalada de $S^{n'-1}\to B^{n'-2}.$ Esto implica que los resultados de $n$ y $n'$ son equivalentes.

Así que si se acepta el teorema de Arquímedes, se obtiene el resultado para todos $n.$ También puede resultar más intuitivo demostrar el resultado para $n=4.$ Este cálculo no está tan mal. "Sobre los volúmenes de las bolas" de Blass y Schaunuel utiliza la parametrización $s_i=\tfrac 1 2 r_i^2$ para dar un mapa de dos a uno $B^2\times B^2\to B^4$ conservando la forma del volumen $ds_1d\theta_1ds_2d\theta_2.$ Específicamente, $(s_1,\theta_1,s_2,\theta_2)\to (s_1-s_2,\theta_1,s_2,\theta_2)$ para $s_1>s_2.$ Para $s_1=1$ esto define un mapa que preserva el volumen $S^1\times B^2\to S^3.$

Answer 5

Advertencia: gloso las constantes, pero sigue siendo válido.

Consideremos el caso básico de la proyección de la esfera tridimensional $S^2$ en $B^1=I$ . Respondamos a la pregunta de cuál es la probabilidad de que un punto (x,y,z) tenga un valor z entre z y z+dz. Si utilizamos coordenadas esféricas tenemos $\sin(\varphi_1)=z$ . La probabilidad de un "cinturón" es su área. El área es la anchura $d\varphi_1$ veces la circunferencia de un círculo en esa "latitud" $\varphi_1$ que tiene un radio $r=\cos(\varphi_1)$ :

$P(z<z'<z+dz) = 2\pi r d\varphi_1= 2\pi \cos(\varphi_1)d\varphi_1$

Pero como $\sin(\varphi_1)=z$ tomando diferenciales tenemos $\cos(\varphi_1)d\varphi_1=dz$ . Intuitivamente, esto se debe a que la anchura del cinturón tiene un ángulo con respecto al eje z, por lo que, por ejemplo, cerca del polo un pequeño segmento en z produce un cinturón muy ancho (aunque corto), de manera que se anula.

Así que

$P(z<z'<z+dz) = 2\pi \cos(\varphi_1)d\varphi_1 = 2\pi dz $ que es independiente de z, por lo que es constante. Hemos reducido una coordenada esférica $\varphi_1$ para proyectar a una bola de menor dimensión.

Ahora, si consideramos la esfera n-dimensional $S^{n-1}$ podemos utilizar coordenadas similares, y reducir $\varphi_1$ de nuevo para encontrar el cinturón de $(x_1, x_1+dx_1)$ . Esta vez, el radio del (ahora no es un círculo sino) $S^{n-2}$ esfera es la misma que antes, $r=\cos(\varphi_1)$ . Su superficie es entonces proporcional a $r^{n-2}=\cos^{n-2}(\varphi_1)$ y para la probabilidad tenemos que multiplicar por la anchura, que es de nuevo $\cos(\varphi_1)d\varphi_1=dx_1$ .

Así que tenemos $P(x_1<x_1'<x_1+dx_1) = \cos^{n-2}(\varphi_1)d\varphi_1 = \cos^{n-3}(\varphi_1) dx_1 $

Si $n \neq 3$ esta probabilidad ahora es depende de $x_1$ . Pero si lo reducimos pas a una sola coordenada $x_1$ sino a una forma que tiene la misma densidad en función de $x_1$ podríamos tener una distribución uniforme sobre esa forma. La bola $B^{n-2}$ tiene precisamente esta densidad en función de $x_1$ . Si no reducimos la dimensión por 2, sino por otra cosa, no tendríamos la densidad adecuada para cada cinturón en $x_1$ . Si lo piensas, por razones de simetría si se mantiene para $x_1$ se deduce que es uniforme en la bola, pero no voy a una prueba completa aquí.

Estas son las ilustraciones más cercanas que pude encontrar.