Encontrar el grupo de Galois de $x^6 - 3x^3 + 2$

Question

Estoy tratando de encontrar el grupo de Galois de $$f(x)= x^6 - 3x^3 + 2$$ en $\mathbb{Q}$ .

Ahora puedo factorizar esto como $$f(x) = (x-1)(x^2 + x + 1)(x^3 - 2)$$

Puedo ver que el campo de división debe ser $\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})$ (donde $\omega$ es una tercera raíz de la unidad) que tiene grado $6$ y así sé que el grupo de Galois debe ser de orden $6$ . Ahora, ¿cómo puedo distinguir entre los casos $S_3$ o $C_6$ ?

Estoy bastante seguro de que es $S_3$ pero tengo problemas para ver cuáles son los automorfismos en realidad. Sé que un elemento $\sigma$ en el grupo de Galois debe permutar las raíces de cada factor irreducible y también sé que un automorfismo está determinado por su acción sobre $\sqrt[3]{2}$ y $\omega$ pero tengo problemas para ver cuáles son los verdaderos automorfismos en este caso?

Por ejemplo, puedo ver el envío de $\omega \to \omega^2$ permuta las raíces de $x^2 + x + 1$ pero entonces, ¿qué hago para $\sqrt[3]{2}$ ? ¿Se puede dejar arreglado?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $\alpha := \sqrt[3]{2}$ . Como has dicho, cualquier automorfismo $\sigma \in Aut_{\mathbb{Q}} L$ está completamente determinado por

$$\sigma (1) \in \{1\}\\\sigma(\omega) \in \{\omega,\omega^2\}\\\sigma(\alpha) \in \{\alpha, \alpha \omega,\alpha \omega^2\}*$$

Ahora, establezca la tabla de posibilidades, para encontrar todos los automorfismos.

$(*)$ Observe que $\alpha, \alpha \omega,\alpha \omega^2$ son las raíces de $X^3-2$ .

Answer 2

Una base para el campo de división de $x^6 - 3x^3 + 2$ en $\mathbb{Q}$ es $\{1, \omega, \omega^2, \sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\}$ .

Un elemento $\sigma \in \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2}), \mathbb{Q})$ está completamente determinado por $\sigma(\omega)$ y $\sigma(\sqrt[3]{2})$ Sin embargo, hay que tener en cuenta que no todas las elecciones dan lugar a un elemento de $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2}), \mathbb{Q})$ (por ejemplo $\sigma(\omega) = \sigma(\sqrt[3]{2}) = 1)$ .

Como $\sigma \in \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2}), \mathbb{Q})$ permuta las raíces de los polinomios mínimos, vemos que $\sigma(\omega) \in \{\omega, \omega^2\}$ y $\sigma(\sqrt[3]{2}) \in \{\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\}$ .

Dejemos que $\alpha(\omega) = \omega^2$ y $\alpha(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2}$ ; $\alpha$ se extiende a un elemento de $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2}), \mathbb{Q})$ . En particular

$$\begin{align*} \alpha : 1 &\mapsto 1\\ \omega &\mapsto \omega^2\\ \omega^2 & \mapsto \omega\\ \sqrt[3]{2} &\mapsto \sqrt[3]{2}\\ \omega\sqrt[3]{2} &\mapsto \omega^2\sqrt[3]{2}\\ \omega^2\sqrt[3]{2} &\mapsto \omega\sqrt[3]{2}. \end{align*}$$

Del mismo modo, dejemos que $\beta(\omega) = \omega$ y $\beta(\sqrt[3]{2}) = \omega\sqrt[3]{2}$ ; $\beta$ se extiende a un elemento de $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2}), \mathbb{Q})$ . En particular

$$\begin{align*} \beta: 1 &\mapsto 1\\ \omega &\mapsto \omega\\ \omega^2 & \mapsto \omega^2\\ \sqrt[3]{2} &\mapsto \omega\sqrt[3]{2}\\ \omega\sqrt[3]{2} &\mapsto \omega^2\sqrt[3]{2}\\ \omega^2\sqrt[3]{2} &\mapsto \sqrt[3]{2}. \end{align*}$$

Como $\alpha$ tiene un orden de dos y $\beta$ tiene un orden de tres, generan $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2}), \mathbb{Q})$ . Comparando $\alpha\circ\beta$ y $\beta\circ\alpha$ podemos determinar si $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2}), \mathbb{Q})$ es abeliano o no, y por tanto si es $C_6$ o $S_3$ .