Consideremos una matriz de Toepliz infinita y triangular superior, con la primera fila $x_1,x_2,\dots,x_n.$
Entonces hay una secuencia de determinantes obtenidos a partir de la $m \times m-$ submatrices con la esquina superior izquierda en la primera fila, y $k^{th}$ columna (por lo tanto $x_k$ está en la esquina superior izquierda de la submatriz). Así, para cada $n$ y $k$ con $1\leq k\leq n,$ tenemos una secuencia de determinantes. Según un artículo de H. Zakrajsek y M. Petrovsek, existe una recurrencia para dicha secuencia de determinantes, con longitud $\binom{n-1}{k-1}$ .
Dejemos que $\Delta_{n,k}(t)$ sea el polinomio característico de esa recurrencia.
A continuación, podemos organizar $\Delta_{n,k}(t)$ en un triángulo, tal que el grado (en $t$ ) del polinomio en la fila $n$ , columna $k$ es $\binom{n-1}{k-1}$ .
Este triángulo tiene varias propiedades agradables:
Los polinomios de la fila $n$ está en las variables $t,x_1,\dots,x_n$ .
$\Delta_{n,k}(t) = \phi(\Delta_{n,n-k+1}(t))$ donde $\phi$ envía $x_i$ a $x_{n-i+1}.$
y lo más importante, $\deg_t(\Delta_{n,k}) = \deg_t(\Delta_{n-1,k}\Delta_{n-1,k-1})$ lo que hace pensar en una recurrencia tipo Pascal, pero con algún tipo de multiplicación en lugar de suma.
Pregunta: ¿Existe una forma agradable de describir esta multiplicación no conmutativa o alguna regla general, que dé $\Delta_{n,k}$ en términos de $\Delta_{n-1,k}$ y $\Delta_{n-1,k-1}$ ?
He calculado las 6 primeras filas del triángulo, ver este pdf . Cada fila coloreada se compone de lo siguiente: El número enmarcado indica la fila en el triángulo. Los tres polinomios siguientes son $\Delta_{n-1,k-1},$ $\Delta_{n-1,k}$ y $\Delta_{n,k}$ . ¿Cuál es la regla para obtener el polinomio inferior a partir de los dos anteriores?
Hasta ahora lo he hecho: $\Delta_{n,k} = t^b \Delta_{n-1,k} + x_n P(t,x_1,\dots,x_n)$ para $b = \binom{n-1}{k-1} - \binom{n-2}{k-1},$ y $P$ es un polinomio. Por lo tanto, el problema es averiguar cómo introducir la variable $x_n.$
Además, es fácil ver que $\Delta_{n,1} = t-x_1$ y $\Delta_{n,n} = t-x_n$ .
