Ecuación diferencial no lineal de segundo orden $y'' = C/y^{1/2}$

Question

$y'' = \frac{C}{\sqrt{y}}$

¿Cómo se puede resolver esta ecuación diferencial? Me encantaría añadir detalles sobre un intento, pero no tengo ni idea de por dónde empezar.

Answer 1

Reescribir como $y'' = Cy^{-1/2}$

$y'' - Cy^{-1/2} = 0$

Para la variación de los parámetros se supone que la solución está en la misma familia de funciones que la forma derivada dada. Dado que se nos da una potencia de x muy simple, pruebe primero con una potencia simple de x.

Supongamos que $y = x^n$ . Entonces $y'' = (n)(n-1)x^{n-2}$ y $Cy^{-1/2} = Cx^{-n/2}$

Así que $C = (n)(n-1)$ y $ n - 2 = -n/2$

$2n - 4 = -n$

$3n = 4$

$n = 4/3$

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Compruébalo: $n-2 = 4/3 - 6/3 = -2/3$ y $-n/2 = (-1/2)(4/3)= -2/3 = n-2$ según sea necesario.

Cualquier múltiplo $K_1 x^{4/3}$ también satisfará la ecuación.

$C = n(n-1)K_1 = (4/3)(1/3)K_1 = 4/9K_1$

Parte de la solución homogénea $y_h = K_1 x^{4/3}$ y $y'' = 4/9K_1 x^{-2/3} = 4/9 y^{-1/2}$

Yendo un poco más allá, tratando de conseguir un caso más general, intente una expresión lineal en lugar de sólo x. Suponga $y = (ax + b)^n$

Entonces $y'' = a^2(n)(n-1) (ax + b)^{n-2}$

Así que para hacer $y'' = Cy^{-1/2} = C (ax + b)^{-n/2}$ de nuevo tenemos la solución $n-2 = -n/2, n = 4/3$ con $C = 4/9a^2$

$y_h = (ax + b)^{4/3}$

Aquí las dos constantes indeterminadas son a y b, como se requiere para una ecuación de segundo orden.

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Ahora necesitamos una solución particular

No estoy consiguiendo lo que necesito aquí y estoy fuera de tiempo -- voy a dar esta solución parcial como al menos un lugar para empezar.

Algunas opciones para una solución particular podrían ser sin^{4/3}x o $e^{kix}$ . Algo en lo que trabajar,

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Solución general $ y = y_p + y_h$

Answer 2

$$y'' = \frac{C}{\sqrt{y}}$$ Esta EDO de segundo orden es de tipo autónomo. El método habitual para reducir el orden se muestra a continuación. La EDO de primer orden obtenida es separable.

La integración es más fácil si se considera la función inversa $x(y)$ en lugar de $y(x)$ que lleva a : $$x+c_2=\pm\frac{1}{C^3}(C\sqrt{y}-c_1)\sqrt{2C\sqrt{y}+c_1}$$ Invertir $x(y)$ para $y(x)$ conduce a una ecuación polinómica de tres grados. Por supuesto, resoluble analíticamente, pero tedioso.