¿Importa la elección de la variable en la función de área utilizando integrales definidas?

Question

Considere el siguiente contexto y definición de la subsección 7.8.1 Función de área del capítulo Integrales de la Libro de texto NCERT

Hemos definido $\int_{a}^{b} f(x) dx$ como el área de la región delimitada por la curva $y = f(x)$ los ordenamientos $x = a$ y $x = b$ y $x$ -eje. Sea $x$ sea un punto dado en $[a, b]$ . Entonces $\int_{a}^{x} f(x) dx$ representa el área de la región sombreada por la luz $$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$$

En otras palabras, el área de esta región sombreada es una función de $x$ . Denotamos esta función de $x$ por $A(x)$ . Llamamos a la función $A(x)$ como función de Área y viene dada por

$$A(x) = \int_{a}^{x} f(x) dx$$

Estoy confundido con el uso de la misma variable $x$ tanto para la variable de integración como para la variable independiente de la función.

Se da que $x \in [a, b]$ y la variable de integración es una variable ficticia. Entonces, creo que podemos escribir la función de área como

$$A(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$$

¿Estoy en lo cierto? ¿Es el uso de la misma variable $x$ ¿es sólo una elección de escritura o me estoy equivocando en alguna parte?

Answer 1

Aunque es confuso, no es ambiguo.

La variable $x$ dentro de la expresión de la integración, $$f\left(x\right)dx$$ se refiere sólo a la variable de integración entre los límites de integración. Está dentro del ámbito de la expresión de integración.

Cualquier variable $x$ fuera de esa expresión incluyendo los límites de la integración $$\int^x_a$$ no forma parte de la variable de integración ya que la variable de integración sólo puede existir dentro de la expresión, no en ningún otro lugar, que está fuera del ámbito de la expresión de integración.

Así que técnicamente, por definición, la fórmula original es correcta. Ahora bien, si se reescribe para reducir la confusión, eso depende del autor, pero el autor sigue siendo correcto.