Cómo evaluar esta integral definida $ \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{(\pi +4x^3)\,dx}{2-\cos(|x|+ \frac{\pi}{3})} $

Question

$$ \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{(\pi +4x^3)\,dx}{2-\cos(|x|+ \frac{\pi}{3})} $$

He separado la integral en dos partes y luego la he ampliado con $\cos(a+b)$ fórmula, después de eso estoy perdido. ¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

No es necesario separar el integrando. En primer lugar, el $x^3$ desaparece; esto se deduce inmediatamente del hecho de que se trata de un integrando impar sobre un intervalo par. Queda el primer trozo, que puedo reducir a

$$2 \pi \int_{\pi/3}^{2 \pi/3} \frac{dx}{2-\cos{x}}$$

Esto puede evaluarse mediante una sustitución de la forma $t=\tan{x/2}$ ; $dx=2 dt/(1+t^2)$ . Entonces la integral es igual a

$$\begin{align}4 \pi \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} dt \frac{1}{1+ 3 t^2} &= \frac{4 \pi}{3 \sqrt{3}} \left [\arctan{\frac{t}{\sqrt{3}}}\right ]_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\\ &= \frac{4 \pi}{3 \sqrt{3}} \left (\arctan{1}-\arctan{\frac13} \right )\\ &= \frac{4 \pi}{3 \sqrt{3}} \arctan{\frac12}\end{align}$$