Desigualdad vectorial de Khintchine

Question

Supongamos que $X_1,\ldots,X_n$ son vectores fijos en $\mathbb{R}^{d}$ y $\epsilon_1,\ldots,\epsilon_n$ son variables aleatorias de Rademacher. ¿Es el caso de que haya constantes $A_p,B_p$ para que

$$ A_{p}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}||X_{i}||_r^{2}}\le \left(\mathbb{E}||\sum_{i=1}^{N}\epsilon_{i}X_{i}||_r^p\right)^{1/p}\le B_{p}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}||X_{i}||_r^{2}} $$

Quiero una versión de la desigualdad de Khintchine que funcione para $\mathbb{R}^{d}$ equipado con el $r$ en lugar de $\mathbb{C}$ con $|\cdot|$ . Si $r$ tiene que ser $2$ está bien.

Answer 1

Para simplificar, tomemos $p=1$ ; de lo contrario, utilice algún argumento de tipo Jensen para reducir al caso $p=1$ . La cantidad buscada corresponde a la complejidad de Rademacher de la bola unitaria dual $B^*_r := \{w \in \mathbb R^d \mid \|w\|_{r^*} \le 1\}$ , donde $r^* \in [1,\infty]$ es el conjugado armónico de $r$ es decir $1/r + 1/r^* = 1$ . Los límites superiores de la forma que busca se han establecido en este libro (véanse los lemas 26.9 y 26.10), para los casos $r \in \{2,\infty\}$ .