¿Demostrar que no existe una determinada función holomorfa con el disco unitario?

Question

Demuestre que no existe una función holomorfa $f$ en $D(0, 1)$ tal que $$ f\left(\frac{1}{n} \right) = \begin{cases} 1+\frac{2}{n} & \text{if $n$ even}\\ 1 & \text{if $n$ odd} \end{cases} $$

Aquí $D(0,1) = \{z : |z| < 1 \} $ .

Mi idea es hacer esto por contradicción, pero no estoy seguro de dónde ir desde allí.

Answer 1

Debemos tener $f(0)=1$ desde $f$ es diferenciable, y por tanto continua, en $0$ . $$ f'(0) = \lim_{z\to0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0} = \text{some particular complex number, since $ f $ is differentiable at $ 0 $}. $$

Pero si ese límite existe, entonces debe ser igual a ambos \begin{align} & \lim_{\text{even }n\to\infty}\frac{f(1/n)-f(0)}{1/n-0} \\[12pt] \text{and} &\lim_{\text{odd }n\to\infty}\frac{f(1/n)-f(0)}{1/n-0}. \end{align} Pero esos dos números difieren.