Si $p,q$ son primos, $pq\pm 2$ , $pq\pm 4$ , $pq\pm 6$ no pueden ser todos primos

Question

Dejemos que $p,q$ sean primos distintos. Demostrar que los seis enteros $pq-2$ , $pq+2$ , $pq-4$ , $pq+4$ , $pq-6$ , $pq+6$ no pueden ser todos primos.

Este es el ejercicio 5.60 de la obra de Chartrand Pruebas matemáticas . El reclamo es intrigante en cuanto a $p=3$ y $q=5$ los cuatro enteros $pq-2$ , $pq+2$ , $pq-4$ , $pq+4$ son todos primos. No he podido explicar por qué deja de funcionar cuando $pq-6$ y $pq+6$ se añaden en la hipótesis.

Creo que debería buscar una prueba por contradicción. No sé dónde usar la suposición de que $p$ y $q$ son primos distintos.

Me pregunto si hay algo peculiar en las brechas primarias de este problema. No tengo ninguna otra pista.

Answer 1

Supongamos que $pq+2$ , $pq+4$ y $pq+6$ son todos primos. No estoy considerando los otros 3 porque la misma lógica funcionará para ellos también. Uno de estos tres números $pq+2$ , $pq+3$ y $pq+4$ debe ser un múltiplo de 3. Pero como $pq+2$ y $pq+4$ ya son primos por lo tanto $pq+3$ es un múltiplo de 3. Entonces, $pq+3=3k$ para algún número natural $k$ . lo que a su vez implica que $pq+6$ que es sólo $(pq+3)+3 = 3(k+1)$ también es un múltiplo de $3$ . Lo que contradice nuestra suposición de que los tres números son primos.

Answer 2

Si se divide un número primo (que no sea $2$ o $3$ ) por 6, el resto será $1$ o $5$ . Si el resto fuera $2$ o $4$ el número sería par, y si tienes resto $3$ el número sería divisible por $3$ .

Así que si $p$ y $q$ son primos mayores que $3$ alors $pq$ tendrá restos $1$ o $5$ cuando se divide por $6$ . Si es $1$ entonces $pq+2$ no puede ser un primo (ya que tendría el resto 3, cuando se divide por $6$ ). Si es $5$ entonces $pq+4$ no puede ser un primo por la misma razón.

Así, sin pérdida de generalidad $p$ debe ser $2$ o $3$ . Sin embargo, si $p=2$ alors $pq+2$ será par y mayor que $2$ . Si $p=3$ entonces $pq+6$ será divisible por $3$ .

Answer 3

Sugerencia

Dejemos que $n=pq>6$ .

Supongamos que $3$ no divide $n-2$ alors $n-2 \equiv 1,2 \pmod{3}$ alors $n+2 \equiv 2,0 \pmod{3}$ . Pero si $n+2 \equiv 2 \pmod{3}$ alors $n+6 \equiv 0 \pmod{3}$ .

Así que si $n-2$ es no divisible por $3$ entonces uno de $n+2$ o $n+6$ tiene que ser divisible por $3$ .

Dicho de otra manera, uno de los números $n-2, n+2, n+6$ debe ser divisible por $3$ .

¿Puedes llevarlo desde aquí?