Confusión entre la energía Zeeman y la energía electromagnética

Question

El término Zeeman de la energía es algo así como $$ \tag{1} F_\text{Zeeman}=-\frac{1}{\mu_0}\int \vec H\cdot \vec M \,dV $$

Este término está en la energía libre de Helmholtz, creo; lamentablemente no estoy seguro. Y la energía electromagnética es algo así como

$$ \tag{2} U=\frac12\int\left(\vec E\cdot \vec D + \vec H\cdot \vec B\right)\,dV $$

Esto se deduce de la fuerza de Lorentz y de las ecuaciones de Maxwell, creo.

Estoy confundido porque $\vec B=\mu_0 \vec H+\vec M$ y si ignoramos el término eléctrico tenemos

$$ U_\text{magn}=\frac12\int\vec H\cdot \left( \vec H+\tfrac{1}{\mu_0}\vec M\right)\,dV =\frac12\int H^2\,dV +\frac{1}{2\mu_0}\int\vec H\cdot \vec M\,dV $$

Estoy confundido porque parece ser casi $U_\text{magn}=-F_\text{Zeeman}$ Así que básicamente tienen 2 comportamientos diferentes. En $(1)$ tenemos un comportamiento donde la magnetización tiende a alinearse con $\vec H$ cuando se minimiza la energía, y en $(2)$ tenemos un poco lo contrario. Estoy seguro de que hay más de una cosa en la que me equivoco, así que cualquier comentario es bienvenido.

Answer 1

En primer lugar, su ecuación (2) no es válida en general; sólo se aplica a materiales magnéticos con relaciones constitutivas lineales ${\vec H}=\frac{1}{\mu}\vec{B}$ (o, de forma equivalente, $\vec{M}=\chi_{m}\vec{H}$ ). Casi todos los materiales de uso cotidiano tienen un electrostática pero no es el caso del comportamiento magnético, debido a la existencia de ferromagnetos, para los cuales $\vec{M}\neq0$ incluso cuando no hay un campo externo. Sin embargo, esa cuestión es independiente de la cuestión cualitativa a la que se refiere principalmente su pregunta.

El problema de las direcciones de los campos surge del hecho de que, dentro de un material magnetizado, la magnetización $\vec{M}$ y el campo magnético fundamental $\vec{B}$ apuntan en direcciones opuestas. Esto es lo contrario de lo que ocurre eléctricamente, pero el comportamiento ya se puede ver en la diferencia entre los dipolos eléctricos y magnéticos físicos.

Mientras que los campos de los dipolos eléctricos y magnéticos tienen las mismas formas límite lejos, los campos cercanos son totalmente diferentes y, de hecho, ¡apuntan en direcciones opuestas! En el plano ecuatorial, el campo eléctrico de un dipolo físico apunta siempre en la dirección opuesta al momento dipolar $\vec{p}$ . Sin embargo, el campo magnético en el plano ecuatorial de un dipolo magnético físico (formado por una corriente circulante) apunta en la dirección opuesta al momento $\vec{m}$ fuera del dipolo por puntos paralelos a $\vec{m}$ dentro del dipolo. (Esto se discute más aquí: Dirección del momento dipolar eléctrico y del momento dipolar magnético .)

Para un material magnetizado, formado por muchos dipolos diminutos, esto significa que el campo $\vec{B}$ apunta en dirección opuesta a la magnetización $\vec{M}$ en el interior.

Esto significa que el $-\vec{H}\cdot\vec{M}$ y $\vec{H}\cdot\vec{B}$ términos tienen en realidad los mismos signos dentro de un trozo de material (linealmente) magnetizado.

Answer 2

Los signos en las fórmulas para la energía en presencia de un campo magnético, son a menudo fuentes de dolores de cabeza. A menudo, el origen se encuentra en la utilización del mismo nombre (energía) para conceptos muy diferentes y de los mismos símbolos para campos distintos.

Permítanme revisar sus fórmulas para explicar mi afirmación anterior.

Energía Zeeman

Por el momento, dejemos de lado la energía libre y escribamos el término que describe la interacción de un momento dipolar $\vec M$ con un externo campo magnético como $$ \tag{1} Z=\Delta E_\text{Zeeman}=-\frac{1}{\mu_0}\int \vec H_0\cdot \vec M \,dV=-\int \vec B_0\cdot \vec M \,dV. $$ Nótese, y esto es un punto importante, que los campos $\vec B_0$ y $\vec H_0$ son los campos generados por las fuentes externas en ausencia del momento dipolar ( $\vec H_0=\mu_0 \vec B_0 $ ). Además, en esta fórmula, el $Z$ debe considerarse una función de $\vec B_0$ . Por lo tanto, $$ \tag{2} {\mathrm d}Z=-\int {\mathrm d}\vec B_0\cdot \vec M \,dV. $$ Ecuación $(1)$ puede obtenerse a partir de la ecuación $(2)$ integrando sobre el campo externo $\vec B_0$ de $0$ a su valor final.

Energía magnética

A partir de las ecuaciones de Maxwell y de la expresión para el trabajo en presencia de corrientes y de un campo eléctrico no conservativo (la fuerza de Lorentz no entra en esta historia), es fácil obtener una expresión para la energía magnética almacenada en la configuración del campo en el caso de una relación lineal entre el $\vec B$ y $\vec H$ campos: $$ \tag{3}U_\text{magn}=\frac12\int\vec H\cdot \vec B\,dV. $$ En el caso general, es mejor utilizar la expresión más general (véase Landau&Lifshitz Electrodinámica de los medios continuos ) $$ \tag{4} {\mathrm d} U_\text{magn}= \int\vec H\cdot {\mathrm d} \vec B\,dV. $$ De nuevo, la Ecn. $(3)$ puede obtenerse a partir de la Ecn. $(4)$ en el caso de una relación lineal entre los dos campos magnéticos, integrando sobre el campo $\vec B$ de $0$ a su valor final. Obsérvese que en las fórmulas $(3)$ y $(4)$ los campos magnéticos no son los campos en ausencia de materia: $$\tag{5}\vec B=\mu_0 (\vec H+\vec M)$$

Ponerlo todo junto

Para comparar la Ecn. $(4)$ a la Ecuación. $(2)$ el primer paso es reexpresar la Ecn. $(4)$ en términos del momento dipolar $\vec M$ y el campo $\vec B_0 $ (el campo externo en ausencia de dipolos magnéticos). Esto se puede hacer (ver el libro de Stratton) de la siguiente manera: $$ \begin{align} \tag{6.1}\int\vec H\cdot {\mathrm d} \vec B\,dV&=\int\vec H_0\cdot {\mathrm d} \vec B_0\,dV+\\ \tag{6.2}&\int(\vec H_0\cdot {\mathrm d} \vec B- \vec B_0\cdot {\mathrm d} \vec H)\,dV+\\ \tag{6.3}&\int(\vec B_0\cdot {\mathrm d} \vec H_0- \vec H_0\cdot {\mathrm d} \vec B_0)\,dV+\\ \tag{6.4}&\int\vec B_0\cdot ({\mathrm d} \vec H- {\mathrm d} \vec H_0)\,dV+\\ \tag{6.5}&\int(\vec H- \vec H_0)\cdot {\mathrm d} \vec B\,dV. \end{align} $$ El término $(6.3)$ desaparece porque $\vec H_0=\mu_0 \vec B_0 $ . Términos $(6.4)$ y $(6.5)$ son cero porque las integrales sobre el espacio del producto escalar de un campo solenoide (el $\vec B_0$ o el ${\mathrm d} \vec B$ ) y los campos irrotacionales ( $\vec H_0$ y $\vec H$ tienen el mismo rizo ya que se originan en las mismas fuentes externas). Por último, utilizando la Ecn. $(5)$ El término $(6.2)$ se puede refundir como $$ \tag{7}\int \vec B_0 \cdot {\mathrm d} \vec M\,dV. $$ Eqn. $(7)$ proporciona una expresión para el cambio de la energía en función (mejor como un funcional) de $\vec M$ . También implica que $$ \vec B_0({\bf r})=\frac{\delta U_\text{magn}}{\delta \vec M({\bf r})}. $$ Por lo tanto, podemos pasar de una función de $\vec M$ a la nueva energía en función del campo externo $\vec B_0$ como variable independiente, a través de una transformada de Legendre (funcional): $$ \tilde U = U_\text{magn} - \int \vec B_0 \cdot \vec M $$ para que el término correspondiente a la Ecn. $(7)$ cuando se utiliza el campo externo como variable independiente se convierte en $$ -\int {\mathrm d}\vec B_0\cdot \vec M \,dV, $$ de acuerdo con la Ecn. $(2)$ .

En resumen, las dos fórmulas son totalmente coherentes. La razón para llamar a la Ecn. $(2)$ a energía libre tiene cierta relación con el hecho de que tenemos dos funciones diferentes, relacionadas a través de una transformada de Legendre, para dar cuenta de la variación energética del sistema, según la cantidad que consideremos como variable independiente.