Isomorfismo entre dos anillos cocientes

Question

Estoy estudiando por mi cuenta el álgebra de Artin y me he quedado con este ejercicio que pregunta "¿Son $Z[x] /\langle x^2 +7 \rangle$ y $Z[x] /\langle 2x^2 + 7\rangle$ isomorfo ?'

Mi sensación me dice que la respuesta es no pero a mostrar el no isomorfismo , debemos ejecutar una propiedad que un anillo tiene y otro no tiene ... No pude averiguar la propiedad ... Gracias de antemano por cualquier ayuda/consejo ...

Answer 1

Creo que tienes razón. El primer anillo $\Bbb Z[X]/(x^2+7)\cong \Bbb Z[\alpha] $ donde $\alpha^2+7=0$ . Como grupos abelianos, tenemos $\Bbb Z[X]/(x^2+7)\cong\{a+b\alpha \mid a,b\in\Bbb Z\}\cong \Bbb Z^2$ ya que podemos dividir cualquier polinomio por $x^2+7$ y obtener un resto de grado inferior a $2$ .

Esto no es cierto en el caso de $\Bbb Z[X]/(2x^2+7)$ . No podemos realizar la división de ningún polinomio en $\Bbb Z[X]$ por $2x^2+7$ por no ser monico. En particular, sólo podemos dividir por $2x^2+7$ , en el interior $\Bbb Z[X]$ cuando el dividendo es un polinomio cuyo coeficiente principal es un múltiplo de $2$ . (Al parecer, se aprende más sobre este tipo de cosas cuando se estudia localización .) Pero el resultado es que se obtienen unos polinomios de mayor grado.

De hecho, podemos concluir que $\Bbb Z[x]/(f)$ no es un grupo abeliano finitamente generado si $f$ no es mónico. Véase este . Así que no puede ser isomorfo como grupo abeliano a $\Bbb Z^2$ .

Answer 2

Pista: sólo un anillo tiene sentido de la paridad (es decir, una imagen $\cong \Bbb Z/2).\,$ O $\,\frac{1}2\in \Bbb Z[x]/(2x^2\!+\!7)\,$ por $\,2(x^2\!+\!4)=1,\,$ pero $\frac{1}2\not\in \Bbb Z[x]/(x^2\!+\!7),\,$ o bien tomando la norma de $\,2w = 1$ rinde $\,4w\bar w = 1$ en $\Bbb Z.\,$

Nota: $ $ Por encima de una propiedad discriminante está integralidad - a crucial propiedad de integral Las extensiones del anillo es que no alteran las propiedades de la unidad en el anillo base, es decir, una unidad no $\,r\in R\,$ sigue siendo una no unidad en cualquier anillo de extensión integral $S\,$ (para que no puedan introducir fracciones como $1/2$ arriba). Por ejemplo, esto puede permitirnos deducir que las ecuaciones diofantinas en $\Bbb Z$ son irresolubles deduciendo una contradicción de paridad $\,2\mid 1\,$ en algún anillo de extensión conveniente de enteros algebraicos. Véase aquí para seguir discutiendo.