Preimagen de un conjunto denso bajo una función onto continua

Question

Sé que la preimagen de un conjunto denso bajo un mapa abierto es densa. ¿Es cierto que la preimagen de un conjunto denso bajo una función onto continua es densa?

En realidad, cuando hice el problema de que la imagen continua sobre un conjunto denso es densa. De repente pensé en esa pregunta. ¿Es eso cierto? Si es así, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

No es cierto. Considere el mapa de identidad $id: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ donde la primera $\mathbb{R}$ está dotado de la topología discreta y el segundo, de la topología euclidiana. Este mapa es continuo y suryente.

$\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ bajo la topología euclidiana. Su imagen inversa bajo $id$ también es $\mathbb{Q}$ . Pero $\mathbb{Q}$ no es denso en $\mathbb{R}$ bajo la topología discreta.

EDIT: El OP preguntó lo siguiente: Si permitimos ambos $X$ y $Y$ para ser $\mathbb{R}$ con la topología euclidiana habitual. ¿Será cierta la hipótesis? La respuesta es no.

Considera la función: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}$ al establecer $f(x) =0$ si $x<0$ y $f(x)=0$ si $x\ge 0$ . Este mapa es continuo y suryente. El conjunto $D=(0,\infty)$ es denso en $\mathbb{R}_{\ge 0}$ . Pero su preimagen bajo $f$ , que sigue siendo $(0,\infty)$ no es denso en $\mathbb{R}$ ¡! Una gran razón es que el mapa $f$ no está abierto.

Answer 2

Falso.

Argumento breve/resumido: Falso porque entonces la preimagen de cualquier subconjunto propio no vacío sería densa en la topología discreta; cosa que no puede.

Argumento completo: Considere este contraargumento:

• Dejemos que $\{\emptyset,X\}=\tau_1\subset \tau_2=2^X$ sean las topologías indiscreta y discreta sobre un conjunto $X$ con al menos 2 puntos.

• El cierre de cualquier subconjunto no vacío $Y$ de $(X,\tau_1)$ debe ser igual a todos los $X$ mismo (ya que el único $\tau_1$ -conjunto cerrado que contiene $Y$ debe ser $X$ ). En particular, el $\tau_1$ -cierre $cl_{\tau_1}(\{x\})$ de cualquier punto $x\in X$ debe ser igual a todos los $X$ . Es decir, $\{x\}$ es denso en $(X,\tau_1)$ .

• Dado que el complemento de $x$ es $X-\{x\}\in 2^X$ entonces el $\tau_2$ -Cierre de $\{x\}$ en $X$ es en sí mismo $\{x\}$ que, por supuesto, no era $X$ ya que este último contenía al menos dos puntos.

• Cada función $f:(X,\tau_2)\rightarrow (X,\tau_1)$ es [continua][2] ya que entonces todo $$ U\in \tau_1 \Rightarrow f^{-1}[U] \in 2^X = \tau_2. $$ En particular, el mapa $f(y)=y$ es continua desde $(X,\tau_2)$ a $(X,\tau_1)$ .

• Ahora, considere la $\tau_1$ -subconjunto denso $\{x\}$ y observe que $$ cl_{\tau_2}\left(f^{-1}[\{x\}]\right)=cl_{\tau_2}\left(\{x\}\right)=\{x\}\neq X \mbox{ but } cl_{\tau_1}\left(f^{-1}[\{x\}]\right)=X $$ Por lo tanto, 1 es falso.

Explicación intuitiva: Si 1 fuera cierto, básicamente cualquier conjunto sería denso, ya que se podría "transferir la densidad" de topologías arbitrariamente gruesas a otras arbitrariamente finas.