¿Cómo puedo encontrar el siguiente límite sin el uso de cualquier serie o expansión? $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x+\sin (\frac 1 x)} $$ Gracias por la ayuda.
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Como bob.sacramento sugiere, vamos a $y=1/x$ y, a continuación, $$ \begin{align} \lim_{x\to0}\frac{x^2}{x+\sin(1/x)} &=\lim_{y\to\infty}\frac1{y+y^2\sin(y)} \end{align} $$ Hay soluciones cerca de todos los no-cero múltiplo entero de $\pi$$y+y^2\sin(y)=0$. Esto puede ser fácilmente verificado desde $y+y^2\sin(y)\gt0$ al $y=(2k+1/2)\pi$ $y+y^2\sin(y)\lt0$ al$y=(2k-1/2)\pi$$k\ne0$.
Para $y=k\pi$, $y+y^2\sin(y)=y$.
Por lo tanto, como $y\to\infty$, $\dfrac1{y+y^2\sin(y)}$ consigue arbitrariamente grandes y pequeños. Por lo tanto, el límite no existe.
Soporte Gráfico
Aquí está una parcela de $y+y^2\sin(y)$. Es fácil ver por qué su recíproco no tiene límite como $y\to\pm\infty$.
$\hspace{3cm}$
Loai Najati
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David
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Mark McClure
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En los comentarios, varias personas indican que WolframAlpha produce resultados extraños y/o no se debe confiar demasiado. Por supuesto, no debe ser un software de confianza demasiado mucho, pero, en este caso en particular, creo que el Alfa respuesta es perfectamente razonable. Esto es lo que veo cuando entro en el límite de x^2/(x+sen(1/x)) cuando x->0:
Ahora como No señaló, Alfa informes de que el estándar de tiempo de cálculo se ha superado. Sin embargo, la vaina de interés principal, a saber, el "Límite" pod, hizo completa y simplemente dice "no se encontró el resultado...". Esto parece perfectamente razonable, aunque, "no existe" o "no definido" podría ser aún mejor.
Como varias personas también señaló, un examen de un gráfico tiene sentido así:
Ahora se convierte en cristal claro de lo que está pasando. Para cada $\varepsilon>0$ hay $x$ valores $0<|x|<\varepsilon$$x+\sin(1/x) = 0$, de modo que la función es simplemente no definido aún en cualquier entero perforado barrio de el origen.
También, aunque sin duda es suficiente para mostrar que la función es arbitrariamente grandes y pequeños en cualquier barrio de el origen, no es necesario para mostrar esto; en realidad el problema es mucho más simple que eso. De nuevo, para que el límite de la definición de ser satisfechas de una función debe ser en todas partes definidas en algunos perforado barrio de el origen, es decir, un conjunto de la forma
$$\{x: 0<|x|<\varepsilon\}$$
y esta función no está hecho. Como un ejemplo similar, usted podría considerar la posibilidad de $f(x)=x\sin(1/x)/\sin(1/x)$. Esta función es, de hecho, limitada y de la misma como $y=x$ , excepto en una secuencia infinita de puntos que converge al origen, donde es indefinido. Una representación gráfica que algo la captura de este es la siguiente:
DonAntonio
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De acuerdo a WA y a este sitio , el límite parece existir y ser igual a cero, sin embargo, en cualquier barrio de cero hay un punto (bueno, en realidad infinitamente muchos) donde la función del denominador se desvanece y, por lo tanto, el límite no existe en realidad. Podemos tratar de mostrar esto como sigue: a definir
$$f(x)=x+\sin\frac1x$$
Ahora elegir
$$(1)\;\;w_n:=\frac2{(4n+1)\pi}\;,\;n\in\Bbb Z\implies f(w_n)=\frac2{(4n+1)\pi}+1>0$$
$$(2)\;\;z_n:=\frac2{(4n+3)\pi}\;,\;n\in\Bbb Z\implies f(z_n)=\frac2{(4n+3)\pi}-1<0$$
Desde que claramente $\;w_n\,,\,z_n\xrightarrow[n\to\infty]{}0\;$ y desde $\;f\;$ es continua en los reales positivos, podemos ver que en cualquier barrio de cero $\,f\,$ cambia de signo infinito de veces, y esto significa que nuestros original de la función no está definida en infinitos puntos (usando el MVT para funciones continuas) dentro de cualquier "pequeño" derecho de vecindad de cero. El mismo puede ser mostrado en el lado negativo de cero.
