Homomorfismo $\mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}^2$

Question

Quiero encontrar un homomorfismo de grupo $f: \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}^2$ que satisface $f(1,0) = (2,6)$ . ¿Puede cualquier homomorfismo de este tipo convertirse en un isomorfismo?

Answer 1

Un homomorfismo $\mathbb{Z}^2\rightarrow \mathbb{Z}^2$ puede representarse como un $2\times 2$ matriz con coeficientes enteros con respecto a las bases canónicas. Por ejemplo diciendo que $f(1,0)$ debe ser $(2,6)$ equivale a especificar la primera columna de la matriz como $\left(\begin{smallmatrix}2\\6\end{smallmatrix}\right)$ . La inversa de dicho homomorfismo, si existe, vendrá dada por la matriz inversa, ya que esto es cierto para los homomorfismos $\mathbb{Q}^n\rightarrow \mathbb{Q}^n$ . Con esta información, deberías ser capaz de responder a tu propia pregunta.