cuántos equipos pueden asignarse a una tarea para que al menos uno de ellos la complete

Question

Hay un problema en mi clase de combinatoria: hay 5 personas que tienen que completar 4 tareas. Han decidido que cada tarea sea completada por un equipo de 2 personas. ¿De cuántas maneras podemos asignar un equipo a una tarea si no se permite que haya una persona que no haga ninguna tarea? El problema debe resolverse utilizando el principio de inclusión-exclusión (PEI).

Me cuesta resolver el problema pero esto es lo que tengo hasta ahora: 1) podemos elegir los equipos en $\binom{5}{2}$ formas que equivale a $10$ . Todas las tareas pueden ser realizadas teóricamente por un solo equipo, por lo que tenemos $10^4$ posibilidades. 2) Utilizando el IEP restamos de $10^4$ el caso de que al menos un equipo no complete ninguna tarea ( $9^4$ ) etc. Así que obtendríamos algo así: $$10^4-9^4+8^4-7^4+6^4-5^4+4^4-3^4+2^4-1^4=5995$$

¿Estoy en la dirección correcta?

Answer 1

Como se ha podido comprobar en los comentarios, hay $\binom5k$ formas de elegir $k$ gente a la que echar de menos, $\binom{5-k}2$ formas de elegir equipos para el resto de personas, y así $\binom{5-k}2^4$ formas de asignar equipos a los $4$ tareas sin estos $k$ personas, por lo que por inclusión-exclusión el número de asignaciones de equipo admisibles es

$$ \sum_{k=0}^3(-1)^k\binom5k\binom{5-k}2^4=4320\;. $$