Prueba $\sum_{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor} (n+1-2k)\sin\frac{(2k-1)\pi}n= \frac n2\csc\frac\pi n $

Question

Encontré el resumen de la serie a continuación

$$\sum_{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor} (n+1-2k)\sin\frac{(2k-1)\pi}n $$

que se supone que se reduce a la expresión de forma cerrada $\frac n2\csc\frac\pi n$ . Sin embargo, me ha costado verlo rápidamente con manipulaciones algebraicas conocidas. El término proporcional $2k$ en la secuencia es un poco molesto.

Answer 1

No voy a dar una respuesta completa ya que creo que eres más que capaz de resolver los detalles, pero lo primero que hay que tener en cuenta es escribir $$\sin \frac{(2k-1)\pi}{n} = \sin \left( \frac{(2k-1-n)\pi}{n} + \pi \right) = -\sin \frac{(2k-1-n)\pi}{n}.$$

A continuación, consideremos la función $$f(z) = \sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} \cos (2k-1-n)z.$$ A continuación, mira la derivada de esta función con respecto a $z$ evaluado en $z = \pi/n$ .

Answer 2

Suponemos que $n>1$ . Que la suma sea $S_n$ ; observa que $\sum_{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor}=\frac12\sum_{k=1}^n$ porque 1) el término es invariante bajo $k\mapsto n+1-k$ y 2) si $n$ es impar, el término en $k=(n+1)/2\color{gray}{[=n+1-k]}$ es cero. Por lo tanto, \begin{align*} 4S_n\sin\frac{\pi}{n}&=\sum_{k=1}^n(n+1-2k)\left(\cos\frac{2(k-1)\pi}{n}-\cos\frac{2k\pi}{n}\right) \\&=\sum_{k=0}^{n-1}(n-1-2k)\cos\frac{2k\pi}{n}-\sum_{k=1}^n(n+1-2k)\cos\frac{2k\pi}{n} \\&=\underbrace{(n-1)}_{k=0}-\underbrace{(1-n)}_{k=n}-2\underbrace{\sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}{n}}_{=-1}=2n. \end{align*}