Quiero aclarar la idea que escribí en los comentarios. Supongamos que se tiene un sistema plano con el siguiente comportamiento: todas las trayectorias entran en algún dominio compacto que contiene la atracción de la figura del ocho homoclínica. A continuación explicaré cómo construir dicho sistema. ![enter image description here]()
Podemos decir que $\omega$ -Los puntos límite, recurrentes y no errantes sólo pueden estar en este dominio compacto. Tenemos dos focos inestables ( $\alpha_L$ , $\alpha_R$ ) y la silla de montar $\sigma$ - son claramente pertenecientes a ambos $NW$ y $R$ . ¿Quién más puede estar en $R$ ? Los puntos que no se encuentran en la figura del ocho homoclínico no pueden ser recurrentes, porque la figura del ocho homoclínico es atractiva. Si consideramos los puntos en esta figura-ocho, entonces claramente no pueden estar en $R$ - a medida que el tiempo llega al infinito, van a $\sigma$ no importa qué, no vuelven a sí mismos. Así que los únicos puntos que son $\omega$ -recurrentes en este ámbito son $\alpha_L$ , $\alpha_R$ y $\sigma$ . Por lo tanto, el $\overline{R}$ es sólo $R$ y es un número finito de puntos.
Sin embargo, cada punto de la figura-ocho homoclínica se encuentra en un conjunto no errante. La prueba de este hecho suele basarse en $\lambda$ -lemma. He intentado ilustrar el esbozo de la prueba para el sistema planar. Si se toma algún punto $p$ en el colector inestable de una silla de montar (lo suficientemente cerca de la silla de montar para aplicar el teorema de Grobman-Hartman) y alguna curva transversal $\gamma$ , entonces después de algún tiempo $T$ el $f^T{p}$ regresar lo suficiente para ensamblar. Este punto trae un pequeño segmento de curva $f^{T}(\gamma)$ con ella. Es muy fácil demostrar mediante Grobman-Hartman que si aplicamos el flujo a este segmento $f^{T}(\gamma)$ entonces eventualmente la imagen de este segmento intersectará el segmento de la curva $\gamma$ cerca del punto inicial $p$ . Por lo tanto, siempre tenemos puntos en alguna pequeña vecindad de $p$ que vuelven lo suficientemente cerca de $p$ y por eso $p$ es un punto no errante. Porque cada punto del bucle homoclínico simple es un $f^\tau (p)$ para algunos $\tau$ demostramos que el bucle homoclínico simple está formado por puntos no errantes. Lo mismo ocurre con otro bucle homoclínico, por lo que la figura homoclínica del ocho pertenece a $NW$ . Esto ya demuestra que $\overline{R} \subsetneq NW$ .
¿Cómo construir un ejemplo concreto de este sistema?
Si quieres tener un ejemplo particular de tal sistema, puedes construirlo de esta manera. Tome el oscilador de Duffing sin fricción ( $\dot{x} = P_D(x, y), \; \dot{y} = Q_D(x, y)$ ). Se trata de un sistema hamiltoniano con el hamiltoniano $H(x, y)$ que tiene un nivel crítico establecido $C_{\rm crit}$ que contiene un equilibrio de silla de montar con sus separatrices formando una figura de ocho homoclínica. Ahora perturbar este campo vectorial de esta manera: $$ \dot{x} = P_D(x, y) - \alpha (H(x, y) - C_{\rm crit}) \cdot Q_D(x, y), $$ $$ \dot{x} = Q_D(x, y) + \alpha (H(x, y) - C_{\rm crit}) \cdot P_D(x, y). $$
Geométricamente esta transformación estira el campo vectorial inicial y lo rota un poco dependiendo del signo de $\alpha \Bigl ( H(x, y) - C_{\rm crit} \Bigr )$ . Obsérvese que el campo vectorial permanece inalterado en los equilibrios y en las figuras homoclínicas, por lo que se conservan en el sistema perturbado. ¿Cómo se comportan otras trayectorias? Comprobemos cómo $H(x, y)$ cambia en el tiempo para el sistema perturbado:
$$ \frac{d H(x, y)}{dt} = \frac{\partial H}{\partial x} \dot{x} + \frac{\partial H}{\partial y} \dot{y} = \frac{\partial H}{\partial x} \Bigl(P-\alpha (H(x, y) - C_{\rm crit}) Q \Bigr) + \frac{\partial H}{\partial y} \Bigl (Q+\alpha (H(x, y) - C_{\rm crit}) P \Bigr) $$
Como el sistema original era hamiltoniano, entonces $P = \frac{\partial H}{\partial y}$ , $Q = - \frac{\partial H}{\partial x}$ y todo se reduce a
$$ \frac{\partial H}{\partial x} \Biggl (\frac{\partial H}{\partial y}+\alpha (H(x, y) - C_{\rm crit}) \frac{\partial H}{\partial x} \Biggr ) + \frac{\partial H}{\partial y} \Biggl(- \frac{\partial H}{\partial x}+\alpha (H(x, y) - C_{\rm crit}) \frac{\partial H}{\partial y} \Biggr ) = \alpha \Bigl (H(x, y) - C_{\rm crit} \Bigr ) \Biggl (\Bigl (\frac{\partial H}{\partial x} \Bigr )^2 + \Bigl (\frac{\partial H}{\partial y} \Bigr )^2 \Biggr ). $$
Así, mediante la elección adecuada de $\alpha$ podemos decir que $H(x, y)$ se convierte en una especie de función de Lyapunov para la figura homoclínica del sistema perturbado. Por supuesto, esto se debe estrictamente a cómo son los conjuntos de niveles de este hamiltoniano y cómo perturbamos este sistema.
