Teoría incoherente con una larga contradicción

Question

¿Qué se puede decir de una teoría inconsistente $T$ que no tiene contradicciones (es decir, deducciones de $P \wedge \neg P$ ) de longitud inferior a $n$ , donde $n$ es un número enorme?

Ha habido algunas discusiones sobre la consistencia de ZFC, por ejemplo, donde se ha afirmado que estaría bien que ZFC fuera inconsistente siempre que la contradicción fuera enorme. Sin embargo, esto me sigue pareciendo una mala situación, ya que hay construcciones que dependen de la consistencia pero que no se preocupan por la deducción per se. Por ejemplo, la construcción de un modelo de una teoría.

¿Puede alguien explicar las consecuencias de esto?

EDIT: Después de escuchar algunos buenos comentarios, creo que puedo formular esta pregunta de una manera más concreta:

¿Hasta qué punto, y en qué situaciones, es posible trabajar de forma coherente con una teoría que es incoherente?

Answer 1

Esto es muy posible, que una teoría $T$ es inconsistente pero cualquier deducción lleva tanto tiempo que no lo sabemos.

Hugh Woodin tiene un breve y bonito artículo, al que recomiendo echar un vistazo, en el que aborda la posibilidad de que (un fragmento de) la Aritmética de Peano (AP) sea inconsistente, pero cualquier inconsistencia es demasiado larga para que podamos detectarla. El artículo es "La Torre de Hanoi", en La verdad en las matemáticas (Mussomeli, 1995) , 329-351, Oxford Univ. Press, Nueva York, 1998.

Parte de su punto es que aunque la gente discute la posibilidad de inconsistencia de los grandes cardinales o de los axiomas fuertes de la teoría de conjuntos,

"hay limitaciones en la medida en que nuestra experiencia en matemáticas hasta la fecha refuta la existencia" de ciertas secuencias de números naturales con consecuencias "indeseables". (pág. 330)

Utiliza la idea de la torre de Hanoi para construir una secuencia que demuestre que la exponenciación estaría mal definida, partiendo de tal suposición sobre la inconsistencia de la PA. (En realidad, utiliza que PA es bi-interpretable con lo que llamamos ZFC ${}^{fin}$ Así que podemos discutir sobre las secuencias en términos combinatorios sin preocuparnos mucho por los problemas de codificación).

Ahora, las teorías fuertes como PA de ZFC pueden demostrar la consistencia de todos sus fragmentos finitos. Por supuesto, la prueba de la consistencia de un fragmento tiende a utilizar axiomas que están fuera de ese fragmento, por lo que no estamos violando el teorema de incompletitud en este proceso. Sin embargo, la experiencia que hemos adquirido con el análisis de esta propiedad local insinúa lo que Gowers sugiere en su comentario, que aún podemos obtener una teoría local significativa aunque la versión global no tenga sentido.

Dado que se convertiría en un poco de un atolladero para llevar esta discusión con PA, para la simplicidad aquí estoy simplemente asumiendo PA es coherente, pero permítanme aclarar esta "sentido" un poco en el contexto de ZFC. La mayoría de lo que hacemos con ZFC se puede llevar a cabo en la teoría en la que la sustitución se limita a $\Sigma_2$ -y hay una "evidencia" razonable de que si ZFC es inconsistente, entonces su inconsistencia proviene de una instancia de reemplazo aplicada a fórmulas de mayor complejidad que $\Sigma_2$ . Esto significa que un fragmento no despreciable de nuestra intuición sobre los modelos de la teoría de conjuntos sería realmente correcto, sólo que no sería sobre ZFC, sino sobre esta forma restringida.

Las incoherencias simplemente no afectarían a esa parte de nuestro entendimiento, y si alguna vez salieran a la luz, probablemente podríamos hacer un control de daños de una manera menos aterradora de lo que se suele temer. De hecho, en retrospectiva, veríamos que las incoherencias explicarían cómo nuestras intuiciones sobre el $\Sigma_2$ -caso simplemente no se puede llevar a fragmentos más grandes, y para la práctica diaria, lo que la mayoría de nosotros hacemos no se vería afectado en absoluto.

[Dicho esto, por supuesto, debo añadir la advertencia habitual de que actualmente no creo que ZFC sea incoherente, por lo que cualquier cosa que diga puede considerarse sospechosa].

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Se me ocurre que hay un entorno formal en el que se podría explorar este escenario (una teoría infinita como PA o ZFC que es inconsistente pero cualquier prueba de una inconsistencia es demasiado larga, y hay fragmentos significativos (de longitud factible) que son consistentes): El de la lógica paraconsistente ( http://plato.stanford.edu/entries/logic-paraconsistent/ ). Sin embargo, según mi (limitada) comprensión de la paraconsistencia, la teoría aún no está lo suficientemente desarrollada como para manejar algo como ZFC. Sin embargo, investigadores en el área pueden tener buenas sugerencias sobre lo que uno tendría que mirar con el objetivo de desarrollar intuiciones que nos ayuden a prever una contradicción, incluso si no la prueban realmente.

Answer 2

Me sorprende que nadie haya mencionado el documento clásico Existencia y viabilidad en la aritmética de Rohit Parikh, que discute las teorías inconsistentes sin una breve prueba de contradicción en el §2.

Answer 3

Permítanme exponer un escenario algo plausible de una incoherencia en la gran jerarquía cardinal que puede tardar mucho tiempo en aparecer.

Una incrustación de rango a rango es una incrustación elemental $j:V_{\lambda}\rightarrow V_{\lambda}$ .

Lema Si $j$ es una incrustación de rango a rango, entonces $(j*j)(\alpha)\leq j(\alpha)$ para todos los ordinales $\alpha$ .

Prueba Supongamos que $\alpha<\lambda$ . Sea $\beta$ sea el menor ordinal tal que $j(\beta)>\alpha$ . Entonces $$V_{\lambda}\models\forall x<\beta,j(x)\leq\alpha.$$ Por lo tanto, por elementalidad, $$V_{\lambda}\models\forall x<j(\beta),(j*j)(x)\leq j(\alpha).$$ En particular, dado que $\alpha<j(\beta)$ concluimos que $(j*j)(\alpha)\leq j(\alpha)$ . $\mathbf{QED}.$

El lema anterior tiene el siguiente corolario como consecuencia puramente combinatoria.

Si $1\leq x\leq 2^{n}$ , entonces dejemos que $o_{n}(x)$ sea el menor número natural tal que si $A_{n}$ es la clásica tabla de Laver de cardinalidad $2^{n}$ entonces $A_{n}\models x*2^{o_{n}(x)}=2^{n}$ . En otras palabras, $o_{n}(x)=\text{log}_{2}(p)$ donde $p$ es el período de $x$ en la clásica mesa Laver $A_{n}$ .

Corolario Supongamos que existe un cardinal de rango a rango. Entonces para todos los números naturales $n$ , uno tiene $o_{n}(1)\leq o_{n}(2)$ .

Las funciones $n\mapsto o_{n}(1)$ y $n\mapsto o_{n}(2)$ son estrictamente crecientes. Sin embargo, Randall Dougherty ha demostrado que estas funciones aumentan muy lentamente. Un cálculo informático sencillo muestra que $o_{n}(1)\leq o_{n}(2)$ siempre que $o_{n}(1)\leq 4$ .

Bajo las hipótesis de grandes cardinales, tenemos $o_{n}(1)\rightarrow\infty$ . Sin embargo, la declaración $o_{n}(1)\rightarrow\infty$ no parece implicar que $o_{n}(1)\leq o_{n}(2)$ para todos $n$ . En el siguiente teorema, $f_{n}^{\text{Ack}}$ es una versión de la función de Ackermann.

Teorema (Dougherty) El menor número natural $n$ tal que $o_{n}(1)\geq 5$ es al menos $f_{9}^{\text{Ack}}(f_{8}^{\text{Ack}}(f_{8}^{\text{Ack}}(254)))$ .

Corolario Si hay un número natural $n$ con $o_{n}(1)>o_{n}(2)$ , entonces el menor número natural $n$ tal que $o_{n}(1)>o_{n}(2)$ es mayor que $f_{9}^{\text{Ack}}(f_{8}^{\text{Ack}}(f_{8}^{\text{Ack}}(254)))$ .

Por lo tanto, si uno trata de demostrar que los cardenales de rango a rango son inconsistentes exhibiendo una $n$ tal que $o_{n}(1)>o_{n}(2)$ entonces habría que tomar más de $f_{9}^{\text{Ack}}(f_{8}^{\text{Ack}}(f_{8}^{\text{Ack}}(254)))$ pasos.

Por supuesto, puede haber atajos para demostrar que $o_{n}(1)>o_{n}(2)$ para algunos $n$ que tardan mucho menos tiempo que en calcular el mínimo $n$ tal que $o_{n}(1)=5$ . O podría haber un tipo de contradicción totalmente diferente con la afirmación de que existe un cardinal de rango a rango.

Para que conste, aquí están los primeros valores de $o_{n}(1)$ y $o_{n}(2)$ .

$o_{1}(1)=0,o_{1}(2)=1;o_{2}(1)=1,o_{2}(2)=1;o_{3}(1)=2,o_{3}(2)=2;o_{4}(1)=2,o_{4}(2)=2;o_{5}(1)=3,o_{5}(2)=3;o_{6}(1)=3,o_{6}(2)=3;o_{7}(1)=3,o_{7}(2)=4;o_{8}(1)=3,o_{8}(2)=4;o_{9}(1)=4,o_{9}(2)=4$ .

Si tal incoherencia apareciera sólo muy lejos, entonces tal incoherencia no tendrá ningún efecto en las matemáticas que hagan los matemáticos aquí en la Tierra porque nadie vivirá lo suficiente para observar tal contradicción.

Dicho esto, los teóricos de conjuntos generalmente no creen que haya ninguna contradicción en ninguna parte de la gran jerarquía cardinal hasta digamos $I0$ sin importar la distancia a la que se encuentre la contradicción.

Answer 4

Su pregunta es excelente, y toca un tema que aún no se ha investigado como debería. Las respuestas típicas son: bueno, tendremos alguna estrategia de mitigación, como escudriñar la teoría y hacer algo de cirugía, para salvar lo que podamos. Esa es, en efecto, una estrategia, pero no va al núcleo del problema. Gowers, en su breve y elogioso comentario anterior:

" si una teoría sólo tiene contradicciones muy largas, entonces habría pensado que bien podría tener una estructura que es en algún sentido "localmente" un modelo (un poco como la superficie de la Tierra es localmente un modelo para un plano infinito) . "

Desgraciadamente, nuestra teoría del modelo ahora es en blanco y negro:

SI una teoría es consistente, ENTONCES tiene un modelo, ELSE no tiene modelos .

Lo que se necesitaría es esto (a la luz del resultado seminal de 1971 de Parikh citado por Emil): las teorías que son cuasi-consistentes (con esto quiero decir que su inconsistencia es inviable, en algún sentido adecuado) deberían tener un cuasi-modelo, o un modelo local/parcial.

Lo que se necesita es un teorema de completitud para teorías factiblemente consistentes (pero clásicamente inconsistentes).

Cómo articular la intuición básica de Gowers es, a mi entender, todavía una pieza que falta en el panorama de la FOM (he hecho un esbozo provisional de un intento en mi manifiesto aquí .).

Este lugar no es el adecuado para debatir propuestas en este sentido, pero aun así quiero dar algo de perspectiva:

la noción tarksiana de la verdad, tal como está ahora, es demasiado rígida .

Habría que ampliarlo, aflojando el acoplamiento teoría-modelo, para incluir modelos parciales de una teoría T, y a la inversa, considerar situaciones en las que una estructura se describe no por una sola teoría, sino por un mosaico de teorías ( un poco como si un colector se representara localmente por copias de $R^n$ pegados). Con suerte, cuando eso ocurra, habremos eliminado la angustia de la consistencia de nuestras vidas.