Cálculo de los puntos decimales de las operaciones de módulo

Question

No estoy muy seguro del paso que se ha dado aquí (he encontrado esto en un libro de criptografía pero no entiendo cómo encuentra el segundo 9).

La función que se encuentra en la imagen es $(2 \cdot 1)^{-1}(3 \cdot 5^2 + 2) = 2^{-1} \cdot 9 \equiv 9 \cdot 9 \equiv 13\,\mod\,17$

Mis cálculos son que: $(2 \cdot 1)^{-1}(3 \cdot 5^2 + 2) = 2^{-1} \cdot 9 = 4.5 \not\equiv 9 \cdot 9 \equiv 13\,\mod\,17$

Ecuación del libro

Answer 1

Cómo encuentra el segundo $9$ :

$2^{-1}\equiv9\pmod{17}$ porque $9\cdot2=18\equiv1\pmod{17}$

Answer 2

Le site ${^{-1}}$ es para la inversa multiplicativa modular, no para la recíproca. Incluso si se trata de esa manera: $$4+2^{-1}=4+{1\over 2}\equiv 4+{18\over 2}=4+9=13\pmod {17}$$ en este caso.

Answer 3

En el módulo aritmético entonces la expresión $(2^{-1})$ no significa $0.5$ que está completamente fuera del ámbito de la aritmética modular (que trata de clases de equivalencia de enteros ).

En cambio, $(2^{-1})$ se refiere a la solución de $2x \equiv 1\pmod n$

Y $2x \equiv 1 \pmod {17}\iff x \equiv 9 \pmod {17}$ [1]

Así que $2^{-1}\equiv 9 \pmod {17}$ .

\======

[1] $2x \equiv 1 \pmod {17} \implies \exists k\in \mathbb Z$ para que $2x = 1 + 17k$ así que $2|1+17k$ pero $2\not \mid 1$ así que $2\not \mid 17k$ así que $k$ es impar. Si $k = 2m + 1$ entonces $2x = 1 + (2m+1)17 = 18 + 34m$ lo que significa $x = 9 + 17m$ o $x \equiv 9 \pmod {17}$ es la única solución ( $\pmod {17}$ ).