Tenemos el triángulo ABC. En la línea AB está el punto M. La línea que es paralela a AB corta a AC en el punto D, y a CB en E. En qué distancia "x" debemos poner la línea DE para obtener un área máxima del triángulo DEM.
Respuestas
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En referencia al diagrama siguiente:- 
En $\triangle CAB$ , que la longitud de la altitud a través de $C$ sea $1$ unidad.
En $\triangle CDE$ , que la longitud de la altitud a través de $C$ sea $x$ unidad.
$\triangle CAB \sim \triangle CDE \implies AB : DE = 1 : x$
Área de $\triangle DEM$
$=\frac{1}{2}.DE. (1 – x)$
$=\frac{1}{2}.x. AB. (1 – x)$
Max(Área de $\triangle DEM$ )
$= Max \frac{1}{2}.x. AB. (1 – x)$
$= \frac{AB}{2} Max(x – x^2)$ [ $AB$ se da como constante]
Para la función cuadrática $(x – x^2)$ El máximo se produce cuando $x = \frac{-(1)}{2(-1)} = \frac{1}{2}$
Eso es, $DE$ debe ser $0.5$ unidades de $C$ (en la altitud de $\triangle CAB$ a través de $C$ y su longitud es $1$ unidad).
Mike T
Puntos
381
En el ejemplo de mick, si la altura fuera $h$
$$[DEF] = \frac12\cdot \frac{AB}{h}\cdot{hx - h^2}$$
El $\frac12\cdot \frac{AB}{h}$ es constante y queremos maximizar $hx - x^2$ . El valor máximo de la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c$ está en $x = \frac{-b}{2a}$ .
Así que el máximo de $hx - x^2$ será cuando $x = \frac{-h}{2\cdot -1} = \boxed{\frac{h}{2}}$ .
Así que la línea $DE || AB$ debe pasar por la mitad de la altura de A.
