¿La suma de la matriz positiva semidefinida hasta la identidad en la diagonal es mayor que una forma cambiada?

Question

En física utilizamos un conjunto de matrices positivas semidefinidas para describir la medición cuántica, deben satisfacer $\sum_i \Pi_i=\mathbb I,\Pi_i\ge0\,\forall i$ . Me pregunto si hay alguna manera de mostrar que $$\left(\begin{array}{cccc} \Pi_{1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \Pi_{2} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \Pi_{M} \end{array}\right) \geq\left(\begin{array}{c} \Pi_{1} \\ \Pi_{2} \\ \vdots \\ \Pi_{M} \end{array}\right)\left(\Pi_{1} \Pi_{2} \ldots \Pi_{M}\right).$$ donde $A\ge B$ significa $A-B$ es una matriz positiva semidefinida.

Intento averiguar cuándo $\Pi_i$ son números reales positivos que suman $1$ que se puede demostrar pero para $\Pi_i$ para las matrices semidefinidas, no sé dónde ir.

Cualquier sugerencia o pista será genial. Gracias de antemano.

Answer 1

Sí. Denota por $X^\ast$ la transposición conjugada de una matriz $X$ . Sea $$ D=\pmatrix{ \Pi_1\\ &\Pi_2\\ &&\ddots\\ &&&&\Pi_M} ,\ E=\pmatrix{I\\ I\\ \vdots\\ I}. $$ La diferencia entre los dos lados de su desigualdad es entonces $$ D-DEE^\ast D=D^{1/2}(I-P)D^{1/2}\tag{1} $$ donde $P=D^{1/2}EE^\ast D^{1/2}$ . Desde $P^\ast=P$ et $$ P^2=D^{1/2}E(E^\ast DE)E^\ast D^{1/2}=D^{1/2}E(I)E^\ast D^{1/2}=P, $$ vemos que $P$ es una proyección ortogonal. Por lo tanto, $I-P\ge0$ y por $(1)$ , $D-DEE^\ast D$ es también semidefinido positivo.