Solución . La probabilidad de la muestra es $$f_n(\textbf x)=\frac{3^n \varphi^{3n}}{\prod_{i=1}^n x_i^4}\mathbb 1_{\min \textbf x >\varphi}$$
y, por tanto, el cociente de probabilidades es
$$\frac{f_n(\textbf x|\varphi_1)}{f_n(\textbf x|\varphi_0)}=\left(\frac{\varphi_1}{\varphi_0}\right)^{3n}\frac{\mathbb 1_{\min \textbf x > \varphi_1}}{\mathbb 1_{\min \textbf x > \varphi_0}}$$
Esto es monotónicamente no decreciente en la estadística de la prueba $T(\textbf x)=\min \textbf x$ (por ejemplo, es $0$ para $\varphi_0<\min \textbf x<\varphi_1$ y luego una constante positiva para $\min \textbf x>\varphi_1$ ). Esto nos permite utilizar el teorema de Karlin-Rubin de la página de Wikipedia de UMP, que establece que la prueba
$$\delta(T(\textbf x))=\begin{cases}1&\text{if } T(\textbf x)>c\\0&\text{if }T(\textbf x)<c\end{cases}$$
donde $c$ se elige de forma que $E_{\varphi_0}\delta (T(\textbf x))=\alpha$ es la prueba UMP de tamaño $\alpha$ para las pruebas
$$H_0:\varphi\le \varphi_0\\ H_1:\varphi>\varphi_0$$
Queda por calcular $c$ . Antes de hacer esto necesitamos la cdf de $\text{Pareto}(x_0, \alpha)$ que tiene una densidad $\frac{\alpha x_0^\alpha}{x^{\alpha+1}}, x>x_0$ . La fdc es $\int_{x_0}^x \frac{\alpha x_0^\alpha}{t^{\alpha+1}}dt=\alpha x_0^\alpha \frac{t^{-\alpha}}{-\alpha}\bigg |_{t=x_0}^x=-x_0^\alpha \left(x^{-\alpha}-x_0^{-\alpha}\right)=1-\left(\frac{x_0}{x}\right)^\alpha$ . También necesitamos la distribución del mínimo de $n$ variables aleatorias de Pareto iid. $\Pr(\min \textbf X>x)=\Pr(X_1>x)\dots \Pr(X_n>x)=\left(\frac{x_0}{x}\right)^\alpha\dots \left(\frac{x_0}{x}\right)^\alpha=\left(\frac{x_0}{x}\right)^{n\alpha}\sim\text{Pareto}(x_0, n\alpha)$ . Así que el mínimo de $n$ iid $\text{Pareto}(\varphi_0, 3)$ variables aleatorias es $\text{Pareto}(\varphi_0, 3n)$ . Tenemos $$\begin{split}\alpha&=E_{\varphi_0}\delta (T(\textbf x))\\ &=P(T(\textbf x)>c|\varphi_0)\\ &=\left(\frac{\varphi_0}{c}\right)^{3n}\end{split}$$
Resolver para $c$ encuentra que $c=\frac{\varphi_0}{\alpha^{\frac 1 {3n}}}$ . Por lo tanto, la prueba UMP es
$$\delta(\min \textbf x)=\begin{cases}1&\text{ if } \min \textbf x > \frac{\varphi_0}{\alpha^{\frac 1 {3n}}}\\ 0&\text{ if } \min \textbf x < \frac{\varphi_0}{\alpha^{\frac 1 {3n}}}\end{cases}$$
Es decir, rechazamos la nulidad para un estadístico mínimo suficientemente grande. Espero que esto ayude.
