Convierta la siguiente ecuación en una ecuación diferencial vectorial de primer orden.

Question

¿Cómo puedo escribir la siguiente ecuación como una ecuación diferencial vectorial de primer orden?

\begin{align} m \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}^2 t} + 2 \gamma m \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + kx = 0 . \end{align}

Esta es una pregunta original de Kurt Jacobs, pregunta 3 del capítulo 2.

Answer 1

Introducir una nueva variable $y(t) = \dot x(t)$ . Entonces

$$\begin{align*}\dot x(t) &= \hspace{4.8em} y(t) \\ \dot y(t) &= -\frac k m x(t) -2\gamma y(t) \end{align*}$$

Entonces, si tomamos $v=\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ y $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac k m & -2\gamma\end{bmatrix}$ tenemos la siguiente ecuación diferencial vectorial:

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} v(t) = A v(t).$$