Si $\left | x_{n+1}-\frac{x_{n}^2}{x_{n-1}} \right |\leq 1$, mostrar que $(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}) $ convergente

Question

Que un número real positivo secuencia $(x_{n})$ tal que $\left | x_{n+1}-\frac{x_{n}^2}{x_{n-1}} \right |\leq 1$ y $\sqrt{x_{1}}\geq \sqrt{x_0+1}$. Mostrar que $(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}) $ convergente.

He tratado de definir una secuencia de $(y_{n})$ tal que $y_{n}=\frac{x_{n+1}}{x_{n}}$. La anterior desigualdad equivalente a:

$\left |x_{n}( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}-\frac{x_{n}}{x_{n-1}}) \right |\leq 1$ $\equiv \left |y_{n}-y_{n-1}\right |\leq \frac {1}{x_{n}}$

Quiero mostrar que $(y_{n})$ es contractivo secuencia, y entonces será una secuencia de cauchy si y sólo si secuencia convergente. Pero me quedé en esta parte. Por favor, dame alguna pista, gracias.

Answer 1

Qué pasa con la siguiente secuencia: $$1,2,3,\frac{7}{2},\frac{37}{12},\frac{865}{504},1,1,\frac{1}{2},1,1,\frac{1}{2},1,1,\frac{1}{2},...$ $

Creo que satisface las condiciones dadas, pero claramente no converge $\frac{x_{n+1}}{x_n}$. Yo creo que el planteamiento del problema puede ser incorrecto.