¿Es posible tener un preorden con diferentes tipos de morfismos?

Question

Soy un no-matemático, bastante nuevo en la teoría de categorías y tendría la siguiente pregunta:

¿Es posible tener un preorden con diferentes tipos de morfismos? Cada par entre cada objeto sigue teniendo un solo morfismo. Sin embargo, el morfismo en cuestión es siempre uno diferente (excepto el morfismo de identidad).

Un ejemplo informal: Siguiendo el enfoque de David Spivaks [1] Olog imagina un perro hambriento que siempre se come la comida comprada por su dueño.
Supongamos tres objetos: Un dueño de perro O, un perro D y comida para perros F. Además, asumimos cuatro morfismos: "posee" , "come", "compra" (abreviatura de "compra comida para perros" que es lo único que compra) y "es".
Cada uno de los objetos son ellos mismos, por lo que hay un morfismo "es" de cada objeto a sí mismo. Por lo tanto, D "posee" a O, O "come" a F, y D "compra" a F. Por último, el perro, por definición, siempre tiene hambre y se come toda la comida que se le da por lo que debe sostenerse que
"posee" o "come" = "compra".

La cuestión en este caso: ¿Se trata de un pedido previo? Cumple todos los criterios de una categoría: Se dan morfismos de identidad y composicionalidad. Siguiendo [2] también cumple los criterios de un preorden que "un preorden es una categoría fina (estricta): una categoría estricta tal que para cualquier par de objetos x, y, hay como mucho un morfismo de x a y".

Sin embargo, no he visto nada parecido en ninguno de los ejemplos habituales: y son los ejemplos habituales para los preórdenes y son los únicos morfismos aplicados a los objetos de la categoría.

Saludos cordiales Pavel

PD: No se me ocurrió un ejemplo más "formal", lo que puede ser un indicador de que voy por mal camino.

FUENTES:

[1] Spivak, David I, Robert E. Kent, "Ologs: Un marco categórico para la representación del conocimiento" https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0024274
[2] https://ncatlab.org/nlab/show/preorder

Answer 1

Sí, se trata de un pedido previo. Una de las ideas clave de la teoría de las categorías es que, a menudo, las propiedades abstractas de los objetos (y los morfismos entre ellos) son más importantes que sus descripciones concretas. Como has señalado, la categoría que has descrito no "parece un preorden", porque los morfismos no reciben nombres como $\subseteq$ o $\leq$ . Pero a la teoría de las categorías no le importan los nombres. Tu categoría satisface la definición de preorden, así que, por ejemplo, si tuvieras algún teorema elegante sobre los preórdenes, sería perfectamente válido aplicarlo a esta categoría.

Answer 2

La respuesta corta es sí. Los nombres/significados de los morfismos no forman parte de los datos: lo importante es cómo se componen los morfismos. Recuerda que definir una categoría es especificar el conjunto de objetos, y el conjunto de morfismos (junto con las identidades y la composición). (Puede ser que $\{ \text{owns}, \text{eats}, \text{buys} \}$ no es, estrictamente hablando, un conjunto bien formado, porque a priori los elementos no han sido definidos, aunque en general es inofensivo considerarlo un conjunto, porque tomar cualquier conjunto de cardinalidad 3 será adecuado). Por lo tanto, debes sentirte libre de etiquetar los morfismos como quieras: si te olvidas de los nombres, y te limitas a considerar el grafo subyacente junto con la estructura de composición, verás que tienes exactamente un preorden.