Elevación de un morfismo en un hom-funtor cuando los hom-sets están vacíos

Question

Tengo problemas para entender un hom-functor.

Supongamos que tenemos un homofuntor $\mathrm{Hom}(X,$ _ $)$ para alguna categoría $\mathcal{C}$ .

Supongamos además que los conjuntos hom $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(X,A)$ y $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(X,B)$ están vacías y existe una flecha $f$ pasando de $A$ a $B$ .

Cuál sería la función levantada $\mathcal{C}(X,f)$ en la categoría $\mathbf{Set}$ ?

¿No es una función que va del conjunto vacío al conjunto vacío?

¿Cómo funciona esto?

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que la notación del conjunto hom es $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X, A)$ en lugar de $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(X, A)$ (el $\mathbf{Set}$ está implícito).

Sí, $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X, f)$ será una función $\emptyset \to \emptyset$ si $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X, A)$ y $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X, B)$ están vacíos. Pero no pasa nada. Hay exactamente una función del conjunto vacío al conjunto vacío, que es la función identidad. (De hecho, para cada conjunto $Y$ hay exactamente una función desde el conjunto vacío hasta $Y$ . Sólo tenemos que proporcionar una asignación de cada elemento del dominio a un elemento del codominio: cuando el dominio está vacío, esto es trivial, ya que no hay elementos para los que proporcionar asignaciones).