Convergencia débil en $L^{2}(0,T;H^{-1}(\Omega))$

Question

¿Qué significa la convergencia débil en $L^{2}(0,T;H^{-1}(\Omega))$ ¿Significa?

$\Omega$ es abierto, acotado, tiene frontera suave y etc...

Answer 1

Notación: Para una función lineal arbitraria $g:V\to\mathbb{R}$ , $\langle g, v\rangle$ es el valor de $g$ en $v\in V$ .

El significado de $$u_n\rightharpoonup u\quad\text{in}\quad L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))\tag{A}$$ es $$\int_0^T\langle u_n(s),w(s)\rangle\ ds\to\int_0^T\langle u(s),w(s)\rangle\ ds\quad\text{in}\quad \mathbb{R}, \quad \forall\ w\in L^2(0,T;H_0^1(\Omega))\tag{B}$$ que implica (tomando $w(s)=\phi(s)v$ ) $$\int_0^T\langle u_n(s),\phi(s)v\rangle\ ds\to\int_0^T\langle u(s),\phi(s)v\rangle\ ds\quad\text{in}\quad \mathbb{R}, \quad \forall\ (\phi,v)\in C_0^\infty(0,T)\times H_0^1(\Omega).$$ La convegencia débil $(A)$ también implica $$\int_0^Tu_n(s)v(s)\ ds\rightharpoonup\int_0^Tu(s)v(s)\ ds\quad\text{in}\quad H^{-1}(\Omega),\quad\forall\ v\in C_0^\infty(0,T)\tag{C}.$$

Déjeme (intentar) explicarlo. Inicialmente, consideremos el caso más general $$u_n\rightharpoonup u\quad\text{in}\quad L^p(0,T;X)\tag{1}.$$

Según la definición habitual, $(1)$ significa $$\langle \Lambda,u_n\rangle\to \langle\Lambda,u\rangle\quad\text{in}\quad \mathbb{R},\quad \forall\ \Lambda\in \Big(L^p(0,T;X)\Big)'.\tag{2}$$

Los teoremas 23.28 y 23.29 en El libro de Kuttler muestra que, para $1/p+1/q=1$ la asignación \begin{align} \theta:L^q(0,T;X')&\longrightarrow \Big(L^p(0,T;X)\Big)'\\ g&\longmapsto\theta_g \end{align} es una isometría lineal biyectiva, donde $\theta_g$ es el mapeo \begin{align} \theta_g:L^p(0,T;X)&\longrightarrow\mathbb{R}\\ f&\longmapsto\int_0^T\langle g(s),f(s)\rangle\ ds. \end{align} Por lo tanto, teniendo en cuenta $\Lambda\in \Big(L^p(0,T;X)\Big)'$ existe un único $h_\Lambda\in L^q(0,T,X')$ tal que $$\langle \Lambda,f\rangle=\int_0^T\langle h_\Lambda(s),f(s)\rangle\ ds,\quad\forall\ f\in L^p(0,T;X).\tag{3}$$ Desde $(2)$ y $(3)$ se deduce que $$\int_0^T\langle h_\Lambda(s),u_n(s)\rangle\ ds\to\int_0^T\langle h_\Lambda(s),u(s)\rangle\ ds\quad\text{in}\quad \mathbb{R}, \quad \forall\ \Lambda\in \Big(L^p(0,T;X)\Big)'$$ Tenga en cuenta que, si $\Lambda$ recorre todos los $\Big(L^p(0,T;X)\Big)'$ entonces $h_\Lambda$ recorre todos los $L^q(0,T;X')$ . Así que, $(1)$ significa

$$\int_0^T\langle h(s),u_n(s)\rangle\ ds\to\int_0^T\langle h(s),u(s)\rangle\ ds\quad\text{in}\quad \mathbb{R}, \quad \forall\ h\in L^q(0,T;X').$$

Como caso particular, concluimos que el significado de $(A)$ es $$\int_0^T\langle h(s),u_n(s)\rangle\ ds\to\int_0^T\langle h(s),u(s)\rangle\ ds\quad\text{in}\quad \mathbb{R}, \quad \forall\ h\in L^2(0,T;(H^{-1}(\Omega))').\tag{4}$$ Desde $H_0^1(\Omega)$ es reflexivo (es decir, el mapeo canónico de $H_0^1(\Omega)$ a $(H^{-1}(\Omega))'$ es una isometría lineal biyectiva), concluimos que:

• Dado $h\in L^2(0,T;(H^{-1}(\Omega))')$ existe $w\in L^2(0,T;H_0^{1}(\Omega))$ tal que $$\langle h(s),v\rangle=\langle v,w(s)\rangle,\quad \forall\ (s,v)\in (0,T)\times H^{-1}(\Omega);$$
• Dado $w\in L^2(0,T;H_0^{1}(\Omega))$ existe $h\in L^2(0,T;(H^{-1}(\Omega))')$ tal que $$\langle h(s),v\rangle=\langle v,w(s)\rangle,\quad \forall\ (s,v)\in (0,T)\times H^{-1}(\Omega).$$

Así que, $(B)$ se obtiene de $(4)$ .

Artículo $(C)$ también se obtiene de $(4)$ como se explica aquí .

Answer 2

Tenemos que $u_n \rightharpoonup u$ en $L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))$ si y sólo si $$\int_0^T \langle u_n(t), w(t) \rangle_{H^{-1}(\Omega), H^1_0(\Omega)} \to \int_0^T \langle u(t), w(t) \rangle_{H^{-1}(\Omega), H^1_0(\Omega)}$$ para todos $w \in L^2(0,T;H^1_0(\Omega))$ .

Obsérvese que el espacio dual de $L^2(0,T;H^1_0(\Omega))$ es $L^2(0,T;H^{-1}(\Omega)).$