Órdenes de productos de permutaciones

Question

Dejemos que $p$ sea un primo, $n\gg p$ no divisible por $p$ (digamos, $n>2^{2^p}$ ). ¿Hay dos permutaciones $a, b$ del conjunto $\{1,...,n\}$ que en conjunto actúan transitivamente sobre $\{1,2,...,n\}$ y tal que todos los productos $w(a,b)=a^{k_1}b^{l_1}a^{k_2}...$ de una longitud máxima de $n$ satisfacer $w(a,b)^p=1$ (aquí $k_i,l_i\in {\mathbb Z}$ )?

Actualización: Siguiendo la discusión de abajo (especialmente las preguntas de Sergey Ivanov, aquí hay un problema de teoría de grupos estrechamente relacionado con el anterior.

¿Existe un grupo residualmente finito de torsión generado finitamente $G$ tal que $G/FC(G)$ es de torsión limitada? Aquí $FC(G)$ es el FC-radical de $G$ es decir, el subgrupo (normal) de $G$ que es la unión de todas las clases de conjugación finitas de $G$ .

Para la explicación de la relevancia de esta cuestión, véase más abajo (téngase en cuenta que el producto directo de grupos finitos coincide con su FC-radical). Nótese que si preguntáramos $G$ para ser la propia torsión acotada, la cuestión sería equivalente al problema restringido de Burnside y tendría respuesta negativa por parte de Zelmanov.

Si la respuesta a alguna de las dos preguntas anteriores es negativa para algún $p>665$ entonces existe un grupo hiperbólico no finito.

Answer 1

Si $p=2$ , entonces su condición de palabras de longitud máxima $2^p$ implica que $a$ y $b$ tienen el orden dos y conmutan. Por lo tanto, generan un grupo de orden como máximo cuatro. Por lo tanto, juntos no pueden actuar transitivamente en un conjunto grande.