¿Cómo se rigidiza una localización Bousfield?

Question

Estoy aprendiendo sobre las localizaciones de Bousfield. Para una categoría triangulada que satisface algunos axiomas, una localización de Bousfield puede describirse como un functor idempotente $L:D \to D$ .

Pensé que había una biyección entre las localizaciones de Bousfield y las subcategorías localizadoras (el núcleo de $L$ determina $L$ ).

Pero hay un set de subcategorías localizadoras de $D$ y un categoría de funtores idempotentes $D \to D$ . Supongo que lo que quiero decir es que el funtor idempotente puede tener automorfismos (incluso el funtor identidad puede tener automorfismos)

¿Hay alguna manera de arreglar eso, en la definición del functor de localización $L:D \to D$ ? ¿Para "rigidizar", es decir, añadir un poco más de datos para que no tenga automorfismos?

Lo siguiente que quiero entender es, por qué las localizaciones de Bousfield forman un poset, pero me quedé atascado en esto. Si lo estoy pensando mal, ¡déjenme hacerlo!

Answer 1

Hay una versión subyacente de la historia que podría valer la pena trabajar primero o en su lugar. A saber, para una categoría $C$ hay una correspondencia natural entre subcategorías reflexivas de $C$ y mónadas idempotentes en $C$ . Ahora bien, uno podría preocuparse igualmente en este caso de que las subcategorías reflexivas no parecen tener automorfismos mientras que las mónadas idempotentes sí; por ejemplo, la subcategoría $C$ corresponde a la identidad $\text{id}_C$ que puede tener automorfismos.

Pero el sentido en el que $\text{id}_C$ tiene automorfismos es como un functor pero esto no implica que tenga automorfismos como una mónada idempotente (aunque no lo he comprobado de ninguna manera). Así que todavía puede ser el caso que para la definición correcta de la localización de Bousfield, estos todavía forman un conjunto (probablemente de hecho un preorden, que es lo que forman las subcategorías reflexivas) y en particular no tienen automorfismos interesantes.