El conjunto convexo de derivadas implica el teorema del valor medio

Question

Sea U $ \subset$ $R^{^{n}}\ $ estar abierto, $f:U\rightarrow R^{m}$ diferenciable en U, y el segmento $[a,b]\subset U$ .

Supongamos que el conjunto de derivadas $\{ f'(x)\in L(R^{^{n}},R^{^{m}}):x\in [a,b] \}$ es convexo. Demostrar que existe un $\theta$ en $ [a,b]$ tal que $f(b)-f(a)=f'(\theta )(b-a)$ .

He empezado a trabajar en "Análisis matemático real" de Charles Chapman Pugh. Traté de resolver este problema que es el número 17 en el capítulo 5, pero yo estaba totalmente stucked incluso cómo empezar.Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

(1) Recordemos la MVT para una función con valor vectorial: Si $f: S\subset {\bf R}^n\rightarrow {\bf R}^m$ es diferenciable y si $\overline{xy}\subset S$ entonces para cualquier $a\in {\bf R}^m$ , $$ a\cdot (f(y)-f(x))= a\cdot \{ f'(z)(y-x )\}$$ para algunos $z\in \overline{xy}$

(2) Definir $$ F(z)=f(z)-Az,\ A:=f'(x)$$ para que $dF (x)=0 $ Por convexidad, $$ dF (z)=c_z B,\ B:= (f'(y)-A) $$ para algunos $c_z$ donde $z\in \overline{xy} $ Así que tenemos que para $v$ , $$ v\cdot (F(y)-F(x))= v\cdot \{ F'(z)(y-x)\} =v\cdot k(v) B(y-x) \ \ast $$ para algunos $z$ y $k : {\bf R}^m\rightarrow {\bf R} $

Desde $\{ F(y)-F(x) - k(v) B(y-x) |v\in {\bf R}^m \}$ está en una línea por lo que existe $v_0$ s.t. $v_0$ es ortogonal a la línea Así que para $\ast$ tenemos $$F(y)-F(x) - k(v_0) B(y-x) =0 $$

(3) [Añadir] Para $z\in \overline{xy}$ por convexidad, $$ f'(z)=\alpha f'(x) +(1-\alpha ) f'(y) $$

Por (1) $$ a\cdot \{ f(y)-f(x) - f'(z) (y-x) \} =0 $$

$$ a\cdot \{ f(y)-f(x) - \alpha f'(x) (y-x) -(1-\alpha ) f'(y) (y-x) \} =0 $$

Tenga en cuenta que $$f(y)-f(x) - \alpha f'(x) (y-x) -(1-\alpha ) f'(y) (y-x)$$ es en algunos línea $l$ . Cuando $a$ es perpendicular a la línea $l$ entonces $$f(y)-f(x) - \alpha f'(x) (y-x) -(1-\alpha ) f'(y) (y-x) =0$$ es decir $$f(y)-f(x) - f'(z) (y-x) =0$$

Answer 2

Hay una prueba fácil si se asume $f$ es de la clase $C^1$ y utilizar un resultado del mismo capítulo del libro de Pugh:

Por el $C^1$ Teorema del valor medio tenemos $$ f(q) - f(p) = T(q - p), $$ donde $T$ es la media de la derivada de $f$ en el segmento $[p, q]$ , $$ T = \int_0^1 f'(p+t(q-p))dt. $$ Esta integral es simplemente el límite de las sumas de Riemann $$ \sum_k f'(p+t_k(q-p)) \Delta t_k, $$ que son combinaciones claramente convexas (ya que $\sum_k \Delta t_k = 1$ ) de elementos en el conjunto de derivadas $$ D = \{f'(x): x \in [p, q]\}. $$ Por convexidad de $D$ Estas sumas de Riemann también están en $D$ . Desde $D$ es cerrado (esto se deduce de la continuidad de $f'$ y la compacidad de $[p, q]$ ), tenemos $T \in D$ como se desee.