Encontrar los valores propios para $A$

Question

¿Pueden ayudarme a encontrar una respuesta rápida para el siguiente problema?

si $A$ es una matriz cuadrada real y no uniforme y $A^t=A^2$ (transpuesto). Encontrar los valores propios Para $ A$ ?

Gracias.

Answer 1

Desde arriba, $A^{t} = A^{2} \implies A = (A^{t})^{t} = (A^{2})^{t} = (A^{t})^{2} = (A^{2})^{2} = A^{4}$

Si $A= Q \Lambda Q^{t} $ entonces $A^{4} = (Q\Lambda Q^{t})^{4} = Q \Lambda^{4} Q^{t}$ y $\Lambda^{4} \implies \lambda_{i}^{4} ,1 \leq i \leq n $

Answer 2

Set $v$ para ser un valor propio de longitud uno, con valor propio $\lambda$ .

Ahora prueba esto: multiplica por $v^t$ a la izquierda y $v$ a la derecha. A continuación, $$ v^t A^t v = v^t A^2 v $$

Esto se puede simplificar utilizando la asociatividad de la multiplicación de matrices, y que $ (AB)^t = B^t A^t $ . ¿Se puede obtener una ecuación que sea puramente en $\lambda$ ? No dudes en preguntar si no entiendes algo :)