Q1
A partir de la ecuación $$ x(x^3+\alpha^3)=0 $$ sabemos que una de las raíces es $x=0$ para el resto queremos resolver $$ x^3+\alpha^3=0 \Longleftrightarrow x^3 = -\alpha^3 = \alpha^3 $$ Si $g$ es un generador de $GF(2^n)$ entonces $\alpha = g^v$ para algún número entero $0\leq v < 2^n-1$ (ya que $\alpha\neq 0$ ). También podemos escribir $x=g^u$ para algún número entero $0\leq u<2^n-1$ por lo que la ecuación se convierte en $$ g^{3u} = g^{3v} \in GF(2^n) \Longleftrightarrow 3u\equiv 3v \pmod{2^n-1} $$ Ahora bien, si $3$ no divide $2^n-1$ que es donde el $\gcd(3,2^n-1)=1$ viene, entonces podemos multiplicar por la inversa de $3$ para conseguir $$ u \equiv v \pmod{2^n-1} $$ Dado que ambos $u,v$ están en $[0,2^n-1)$ sólo hay una raíz distinta posible, que es $u=v$ . Esta es la raíz obvia $x=g^u=g^v = \alpha$ . Por lo tanto, sólo hay dos raíces en total, $0$ y $\alpha$ .
Creo que es bastante común acortar este tipo de argumentos como el siguiente:
Dejemos que $G$ sea un grupo multiplicativo cíclico de orden $m$ y $\alpha\in G$ . Entonces $$x^k = \alpha^k$$ sólo tiene 1 raíz si $\gcd(k,m)=1$ ".
Para el otro caso en el que $3\mid 2^n-1$ , dejemos que $m=2^n-1 = 3d$ . La ecuación es ahora $$ \begin{align} 3u &\equiv 3v \pmod{3d}\\ u &\equiv v \pmod d \end{align} $$ Dejemos que $r\equiv v \pmod d$ tal que $0\leq r < d$ . Entonces $u$ puede tomar 3 soluciones $u=r, r+d, r+2d$ . Desde $0\leq r,r+d,r+2d < 3d = 2^n-1$ sabemos que los elementos $g^r,g^{r+d},g^{r+2d}$ son distintos. Así que tenemos 4 raíces en total: $x=0,g^r,g^{r+d},g^{r+2d}$ .
Por fin: Cuando $n$ es impar $3$ no divide $2^n-1$ así que por la primera parte hay dos soluciones. De lo contrario, $n$ está en paz, $3$ divisiones $2^n-1$ por lo que en la segunda parte hay cuatro soluciones.
El texto dice $d=(2^n-1)/3$ y sugiere que las otras dos raíces son $x=\alpha^{1+d}$ y $x=\alpha^{1+2d}$ . Ahora bien, estas raíces sí satisfacen la ecuación, digamos: $$ x^3+\alpha^3 = (\alpha^{1+d})^3+\alpha^3 = \alpha^{3+m}+\alpha^3 = \alpha^3 + \alpha^3 = 0 $$ (Ya que $\alpha^m=1$ por el Teorema de Lagrange). Lo mismo ocurre para $x=\alpha^{1+2d}$ . Sin embargo no creo que sea del todo correcto ya que estas raíces pueden repetirse, por ejemplo si $\alpha=1$ entonces siguiendo el texto se obtienen las raíces $0,1,1,1$ . Utilizando el método anterior se obtiene primero $\alpha = 1 = g^0$ entonces las raíces son $0,g^0,g^d,g^{2d}$ . Tal vez me falte algún contexto en el que no se puedan repetir las raíces.
Q2
Del mismo modo, para la ecuación $$ x^2(x^6 + \alpha^6)=0 $$ vemos inmediatamente una raíz (repetida) de $x=0$ . El resto de las raíces se encuentran en $$ x^6 + \alpha^6 = 0 $$ Como el campo es de característica dos, tenemos $$ (x^3+\alpha^3)^2 = x^6+\alpha^6 = 0 $$ Por lo tanto, nos vemos reducidos a $$ x^3 + \alpha^3 = 0 $$ Esto tiene exactamente las mismas raíces que antes, dependiendo de si $n$ es impar o incluso.
