Búsqueda de valores extremos (multivariable)

Question

Dado $f(x,y)=x^2+2y^2$ , encontrar sus valores extremos en $x^2+y^2=1$ . Sé cómo resolver este problema utilizando el método de Lagrange y el método de la variación constante.

Las soluciones son $(\pm1,0)$ y $(0,\pm1)$ y se consigue fácilmente con el método de Lagrange.

Si vamos por el método de la variación constante, digamos que fijamos x y analizamos f(y) para los puntos críticos, obtenemos:

$$f(y)= \left (\pm \sqrt{1-y^2} \right)^2 +2y^2 \implies f(y)=y^2+1$$ $$f'(y)=2y, \text{critical points where f = 0} \implies (\pm1,0) \text{is critical} $$

Sin embargo, este método no nos da el segundo conjunto de coordenadas críticas $(0,\pm1)$ a menos que repitamos el mismo proceso pero analizando $f(x)$ .

Me parece raro porque fijar x en la restricción dada es analizar los puntos críticos de toda la circunferencia que es lo mismo que estamos haciendo al fijar y.

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Mi pregunta es: ¿Por qué tenemos que hacer 2 análisis en lugar de 1?

Gracias

(¡Espero que esto tenga sentido!)

Answer 1

Solución $1$ :

$f(x) = x^2+y^2 + y^2 = 1+y^2 \geq 1$ y $\leq 2$ . ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Solución $2$ :

$f(x) = x^2+2y^2 \geq 1^{x^2}2^{y^2}=2^{y^2} \geq 2^{0}=1$ y $f(x) \leq 2x^2+2y^2 = 2(x^2+y^2) = 2$ . ¿También puedes llevarlo desde aquí?

Solución $3$ :

Dejemos que $x =\cos \theta, y = \sin \theta\to f=\cos^2\theta+2\sin^2\theta=1+\sin^2\theta\geq 1, \leq 2$ desde $0 \leq \sin^2\theta \leq 1$ .