Enfoques para el análisis de la enseñanza y el aprendizaje

Question

Descubrí que estudiar álgebra lineal entrando primero en los espacios vectoriales y las transformaciones lineales facilitaba mucho las cosas. Este es el enfoque que adoptan Halmos o Axler, por nombrar algunos.

En mi opinión, la alternativa de pasar por la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de antemano, oscurece el tema.

¿Cuáles serían los enfoques equivalentes, ligeramente abstractos, para estudiar el análisis para un estudiante de primer año? ¿Un poco de topología y espacios métricos, como Rudin? ¿Cálculo multivariante con formas diferenciales, como Hubbard y Hubbard?

Answer 1

Sobre los dos primeros párrafos de su pregunta, creo que tiene razón: álgebra lineal primero puede darte una herramienta más para afrontar y entender otros temas de cálculo/análisis.

Por otro lado, otra palabra clave que ha utilizado es Topología : Creo que este último, más que otros, puede darle una general punto de vista que ver las cosas "en $\mathbb{R}$ " o "en $\mathbb{C}$ ".

Por ejemplo, en las carreras italianas de ingeniería tenemos mucha asignatura de matemáticas "puras" (lo cual es bueno) pero poca topología (que sólo estudié después en la licenciatura de matemáticas, lo cual es malo, creo). Yo añadiría esa asignatura a los cursos de Beng, porque durante años he mencionado y oído hablar de "intervalos abiertos", ignorando la noción más general de conjunto abierto (y esto no es optimizar, desde el punto de vista de mi "alumno").

Para dejarlo lo más claro posible, pensando en ello años después, hubiera preferido algunas nociones más y antecedentes en general topología, antes de resolver ejercicios sobre Euclidiano topología de $\mathbb{R}^n$ .

Answer 2

Ciertamente, la topología y los espacios métricos constituyen un bonito resumen (pero no también resumen) introducción a algunos de los conceptos fundamentales del análisis, básicamente la continuidad. Pero eso es sólo una parte del análisis.

Simmons Introducción a la topología y al análisis moderno es un clásico que, partiendo de los espacios métricos, le llevará hasta el teorema de Gelfand-Naimark sobre las álgebras de Banach, una de las cimas del análisis del siglo XX. Spivak Cálculo sobre Múltiples es un volumen delgado que sigue siendo uno de los mejores primeros encuentros con las formas diferenciales y el teorema de Stoke (es decir, para alguien inclinado a la abstracción, en el nivel de primer año). Resulta que me gusta el libro de Lang Análisis .