¿Función de densidad conjunta de la distribución exponencial iid?

Question

Dejemos que las variables aleatorias $X_1$ , $X_2$ y $X_3$ sean independientes e idénticamente distribuidos según la distribución exponencial con tasa $\lambda$ . Sea $Y_1 = X_1$ , $Y_2 = X_1 + X_2$ , y $Y_3 = X_1 + X_2 + X_3$ .

(a) Encuentre la función de densidad conjunta de $Y_1$ , $Y_2$ y $Y_3$ .

(b) Encuentre la densidad marginal de $Y_3$ .

¿Qué hago aquí? Realmente no sé por dónde empezar. ¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

(b) Si $X_1, \dots, X_n \stackrel{iid}{\sim}\mathsf{Exp}(\mathrm{rate} = \lambda),$ entonces $T = \sum_{i=1}^n X_i \sim\mathsf{Gamma}(\mathrm{shape}= n, \lambda).$ Esto se demuestra fácilmente utilizando funciones generadoras de momentos. (Ver Wikipedia en las distribuciones gamma; la segunda parametrización, utilizando la tasa, se utiliza en R).

Mediante la simulación de $m = 100\,000$ realizaciones de $T,$ cada uno de ellos de la suma $n=5$ independiente $X_i \sim \mathsf{Exp}(.25),$ tenemos la siguiente demostración de que $T\sim\mathsf{Gamma}(5, .25)$ con $E(T) = n/\lambda = 20.$

set.seed(504)
t = replicate(10^5, sum(rexp(5, .25)))
summary(t)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.6922 13.5211 18.7286 20.0232 25.0858 81.6024 

hdr="Simulated sample of GAMMA(5, .25)"
hist(t, prob=T, br=20, col="skyblue2", main=hdr)
 curve(dgamma(x, 5, .25), add=T, col="orange", lwd=2)

Answer 2

La densidad conjunta significa una especificación de la densidad de las variables aleatorias tal como aparecerían juntas, es decir $g(Y_1, Y_2, Y_3)$ . La densidad marginal es la densidad de una sola de estas variables, $g(Y_3)$ .

a) Utilicemos el lema de transformación estándar.

Los mapeos inversos dan

$$\begin{split}s_1(Y_1, Y_2, Y_3)&=X_1=Y_1\\ s_2(Y_1, Y_2, Y_3)&=X_2=Y_2-Y_1\\ s_3(Y_1, Y_2, Y_3)&=X_3=Y_3-Y_1-(Y_2-Y_1)=Y_3-Y_2\end{split}$$

El valor absoluto del jacobiano es, expandiéndose a través de la primera fila, $$|J(s_1(Y_1,Y_2,Y_3), s_2(Y_1,Y_2,Y_3), s_3(Y_1,Y_2,Y_3))|=\operatorname{abs}\left(\begin{vmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1\end{vmatrix}\right)=\operatorname{abs}\left(1\begin{vmatrix}1&0\\-1&1\end{vmatrix}\right)=|1|=1$$

La densidad conjunta de $X_1, X_2, X_3$ es

$$f(X_1,X_2,X_3)=\lambda e^{-\lambda X_1}\lambda e^{-\lambda X_2}\lambda e^{-\lambda X_3}$$

Así, la densidad conjunta de $Y_1, Y_2, Y_3$ se obtiene introduciendo los mapeos inversos y multiplicando por el valor absoluto del jacobiano,

$$\begin{split}g(Y_1,Y_2,Y_3)&=f(s_1(Y_1,Y_2,Y_3), s_2(Y_1,Y_2,Y_3), s_3(Y_1,Y_2,Y_3))\cdot |J(s_1(Y_1,Y_2,Y_3),s_2(Y_1,Y_2,Y_3),s_3(Y_1,Y_2,Y_3))|\\ &=\lambda^3e^{-\lambda(Y_1+Y_2-Y_1+Y_3-Y_2)}\cdot 1\\ &=\lambda^3e^{-\lambda Y_3}\end{split}$$

Para qué valores son válidos, encontramos que los rv exponenciales sólo son positivos por lo que

$$Y_1>0,Y_2-Y_1>0,Y_3-Y_2>0\Rightarrow Y_3>Y_2>Y_1>0$$

b) Como se ha mencionado (+1), la suma de $n$ variables aleatorias exponenciales independientes con la misma tasa es $\text{Gamma}(n, \lambda)$ Así que aquí está $Y_3\sim\text{Gamma}(3, \lambda)$ . La densidad es $g(y_3)=\frac{\lambda^3}{2}x^2e^{-\lambda y_3},y_3>0$ .