¿Puedo diferenciar ambos lados de una ecuación diferencial?

Question

Esta es una pregunta trivial, tenga en cuenta que no soy un profesional en este entorno, sólo estoy aprendiendo.

Supongamos que tengo esta sencilla ecuación:

$L\frac{d i(t)}{dt}=-\frac{1}{C}\int i(t) dt$

Supongo que adivinas lo que es, pero no es tan importante: quiero resolverla como una ecuación diferencial y por eso necesito quitar la parte integral. Sé que la eq anterior se puede escribir como

$\frac{d^2 i(t)}{dt^2}+\frac{1}{LC}i(t) = 0$

Me parece que hay una diferenciación de ambos lados de la ecuación y una división de ambos lados por L. ¿Es mi suposición correcta? Si es así, ¿es correcto decir que la diferenciación de ambos lados de una ecuación diferencial da el mismo resultado? Supongo que tenemos que afirmar que i(t) es diferenciable dos veces, y tal vez haya otras restricciones...

Answer 1

Efectivamente, tienes razón, al diferenciar ambos lados de una ecuación se obtiene una ecuación válida dado que ambos lados son efectivamente diferenciables.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que la ecuación

$L\frac{d i(t)}{dt}=-\frac{1}{C}\int i(t) dt$

cuando se reordena y se diferencia con respecto a $t$ realmente rinde:

$\frac{d^2 i(t)}{dt^2}+\frac{1}{LC}i(t) = 0$

Espero que esto ayude.