Distinguir dos versiones locales del axioma de elección

Question

Dos formulaciones equivalentes del axioma de elección son:

1. Todas las familias $(X_i)_{i \in I}$ de subconjuntos no vacíos, disjuntos entre sí, de un conjunto $X$ tiene una función de elección.
2. Todas las familias $(X_i)_{i \in I}$ de subconjuntos no vacíos de un conjunto $X$ tiene una función de elección.

Sin embargo, la prueba habitual de la implicación (1) → (2) sustituye el conjunto $X$ con el conjunto $X \times I$ y extrae una función de elección para $(X_i)_{i \in I}$ de una función de elección para la familia disjunta de pares $(X_i\times\lbrace i \rbrace)_{i \in I}$ de subconjuntos no vacíos de $X \times I$ . Desde $X \times I$ puede ser mucho mayor que $X$ , no hay ninguna razón para creer que (1) → (2) para un conjunto fijo $X$ .

Para un conjunto determinado $X$ (2) tiene una instancia máxima donde la familia $(X_i)_{i \in I}$ consiste en todos los subconjuntos no vacíos de $X$ . Por lo tanto, vemos que (2) es equivalente a:

• Existe una función de elección $\mathcal{P}(X)\setminus\lbrace\varnothing\rbrace\to X$ .
• El conjunto $X$ es bien ordenable.

Para un conjunto determinado $X$ (1) es equivalente a:

• Todas las proyecciones $q:X \to Y$ tiene un inverso derecho.
• Toda relación de equivalencia en $X$ tiene una transversal.

Parece que (2) es efectivamente más fuerte que (1) para un conjunto fijo $X$ y creo que esto debe ser bien conocido, pero no recuerdo un modelo de ZF (o ZFA) donde algún conjunto $X$ satisface (1) pero no (2). ¿Alguien conoce un modelo así? Un modelo de ZF donde $X = \mathbb{R}$ satisface (1) pero no (2) sería muy interesante.

Answer 1

Supongamos que $X$ es un conjunto fuertemente amorfo, es decir, un conjunto amorfo en el que cada partición sólo tiene un número finito de partes no sintéticas. Está claro que no existe una función de elección de cada familia de subconjuntos no vacíos de $X$ , como $X$ no puede dividirse en dos conjuntos infinitos disjuntos.

Si $\cal F$ es una familia conjunta de subconjuntos de $X$ entonces, sin pérdida de generalidad $\cal F$ es una partición de $X$ (en caso contrario, basta con añadir el complemento de $\bigcup\cal F$ ). Si esta partición es finita, entonces por supuesto hay una función de elección, sin embargo, si la partición es infinita, entonces todos los conjuntos de la partición, excepto los finitos, son singletons, y la función de elección es trivial (elegir entre los no-singletons, y los singletons sólo permiten una elección).

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Algunas observaciones sobre el caso cuando $X=\mathbb R$ (que, sin embargo, puede no ser coherente):

• Dado que toda familia contable puede hacerse disjunta, esto implica la elección contable de conjuntos de números reales.
• De hecho, esto significa que cada ordinal $\kappa$ que $\mathbb R$ puede ser mapeado en, puede ser mapeado en $\mathbb R$ , por lo que hay $\aleph_1$ muchos números reales. En particular $\aleph(\mathbb R)=\Theta(\mathbb R)$ (donde $\Theta$ es el menos ordinal que no hay suryección sobre él desde $\mathbb R$ ).
• Cada familia de como máximo $\frak c$ muchos conjuntos deben tener una función de elección. Podemos considerar una biyección de $\mathbb R$ con $\mathbb R^2$ y si $\lbrace A_r\mid r\in\mathbb R\rbrace$ es una familia, entonces la preimagen de $\lbrace r\rbrace\times A_r$ forman una familia disjunta.
• Para complementar la anterior, cada partición de $\mathbb R$ tiene un tamaño máximo de $\frak c$ ya que existe una función de elección hacia $\mathbb R$ .

Lo anterior descarta los modelos "habituales" en los que $\mathbb R$ no es bien ordenable, por ejemplo, Feferman-Levy, Solovay, ZF+AD, el primer modelo de Cohen. Podría ser muy bien que lo anterior ya demuestre que no puede haber un modelo en el que $X=\mathbb R$ pero no puedo ver una razón para ello (o un modelo en el que sea cierto).