Aplicación de la combinación más simple o aclaración de la permutación

Question

Como se indica en numerosos sitios web, la definición de combinación y permutación permite contar diferentes surtidos.

Mi pregunta es que ¿cuáles son las condiciones necesarias para que la permutación o combinación más simple (o sencilla si es demasiado específica) sea aplicable? Por ejemplo- y probablemente mi mayor preocupación-(Diga si es una condición necesaria), ¿los elementos de la lista tienen que ser indistintos para calcular una $\binom{n}{k}$ ? ¿Pueden repetirse los elementos? Etc...

Lo pregunto a raíz de una pregunta que he publicado (leer los comentarios de la respuesta de André Nicolas para aclararlo) Hay $6$ tipos de cookies. ¿Cuántos paquetes diferentes de $3$ ¿Galletas puede empaquetar el panadero?

Answer 1

La siguiente información podría ser útil:

• El camino de los doce

  R.P. Stanley presenta en su clásico Combinatoria enumerativa vol. 1 en la sección 1.9 el llamado camino del dodecagonal . Considera conjuntos finitos $N$ y $X$ con $|N|=n, |X|=x$ y cuenta el número de funciones diferentes $f:N\rightarrow X$ en diferentes situaciones.

• Funciones: $f$ puede ser arbitraria, inyectiva y sobreyectiva, dando tres posibilidades diferentes.

• Conjuntos: Elementos de $N,X$ puede ser distinguible o indistinguible, lo que da lugar a cuatro posibilidades diferentes.

En conjunto podemos considerar $3\cdot 4=12$ diferentes situaciones:

\begin{array}{llccc} \text{Elements}&\text{Elements}\\ \text{of }N&\text{of }X&\quad\text{Any }f\quad&\quad\text{Injective }f\quad&\quad\text{Surjective } f\quad\\ \hline \text{dist.}&\text{dist.}&x^n\quad&\quad x^{\underline{n}}\quad&x!{n\brace x}\\ \text{indist.}&\text{dist.}&\left(\!\!{x\choose n}\!\!\right)\quad&\quad\binom{x}{n}\quad&\left(\!\!{x\choose n-x}\!\!\right)\quad\\ \text{dist.}&\text{indist.}&\sum_{j=0}^x{n\brace j}\quad&\quad\begin{matrix}1&\text{if }n\leq x\\0&\text{if }n>x\end{matrix} \N - Cuadrado&{nombre de la marca x}\N - Cuadrado \text{indist.}&\text{indist.}&\sum_{j=0}^xp_j(n)\quad&\quad \begin{matrix}1&\text{if }n\leq x\\0&\text{if }n>x\end{matrix} \N - cuadrado&p_x(n)\N - cuadrado \fin{span} {array}

con

$x^{\underline{n}}=x(x-1)\cdots(x-n+1)$ la potencia factorial decreciente,

${n\brace x}$ el _Números Stirling de segundo tipo_ y

$p_x(n)$ el número de particiones de $n$ en $x$ partes.

Recomiendo estudiar a fondo esta instructiva sección.