¿He derivado correctamente esta fórmula de ecuación de recurrencia

Question

Empecé con la ecuación de recurrencia $\space\space x_{n+1}=ax_n+b \space \space$ y lo convertimos en la fórmula de la parte inferior para poder encontrar el valor de cualquier término enésimo de la forma $\space \space x_n=f(n)$

Así es como obtuve mi fórmula para $f(n)$ :

$$x_0=x$$ $$x_1=ax+b$$ $$x_2=a^2x+ab+b$$ $$x_3=a^3x+a^2b+ab+b$$ $$x_n=a^nx+a^{n-1}b+a^{n-2}b...a^2b+ab+b$$ Consulte la ecuación de progresión geométrica: $$\sum_{k=1}^{n}a^{k-1}b=\frac{b(1-a^n)}{1-a}$$ $$x_n=a^nx+\frac{a^nb-b}{a-1}$$ $$x_n=\frac{a^{n+1}x-a^nx+a^nb-b}{a-1}$$ $$x_n=\frac{a^n(ax-x+b)-b}{a-1}$$ Simplificación final y sustitución de $x_0=x$ $$x_n=\frac{a^n((a-1)x_0+b)-b}{a-1}$$ Nota al margen: Esta idea surgió originalmente a partir de los problemas que encontré en la Conjetura de Collatz, lo que eventualmente llevó a crear una fórmula general. ¿Podría esto ser potencialmente útil para otros usos que no sean los míos?

Answer 1

Puedes hacerlo más fácil. Considerando $$ x_{n+1}=a\,x_n+b $$ dejar $x_n=y_n+c$ para hacer $$y_{n+1}+c=a\, y_n+ac+b$$ es decir $$y_{n+1}=a\, y_n+(ac+b-c)$$ Elija $c$ tal que $ac+b-c=0$ y se vuelve a la secuencia geométrica clásica. Resuélvelo para $y_n$ y volver a $x_n$ .

Answer 2

Se trata de una recurrencia lineal con coeficientes constantes y también puede resolverse de forma similar a una EDO lineal.

La ecuación homogénea es

$$x_{n+1}=ax_n$$ y obviamente tiene la solución general

$$x_n=ca^n.$$

Ahora una solución particular de la ecuación no-homogénea

$$x_{n+1}=ax_n+b$$ viene dada por una constante, dejemos que $d$ , de tal manera que

$$d=ad+b.$$

Tenemos

$$x_n=ca^n+\frac b{1-a}$$ y añadimos la condición inicial $x=x_0$ ,

$$x_0=c+\frac b{1-a}$$ y finalmente

$$x_n=a^nx_0+\frac{1-a^n}{1-a}b.$$

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Otro método:

La relación $x_{n+1}=ax_n$ insinúa la transformación $x_n=a^ny_n$ , lo que lleva a la recurrencia modificada

$$y_{n+1}=y_n+ba^{-n},$$ que se resuelve mediante la suma de una serie geométrica

$$y_n=y_0+b\sum_{k=1}^na^{-k}=y_0+a^{-1}\frac{1-a^{-n}}{1-a^{-1}}.$$

Entonces

$$x_n=a^nx_0+\frac{a^n-1}{a-1}b.$$